Question

Halla la solución positiva de $\begin{aligned}&\frac1{x^2-10x-29}\\&\quad+\frac1{x^2-10x-45}\\&\quad-\frac2{x^2-10x-69}=0.\end{aligned}$

Find the positive solution to $\begin{aligned}&\frac1{x^2-10x-29}\\&\quad+\frac1{x^2-10x-45}\\&\quad-\frac2{x^2-10x-69}=0.\end{aligned}$

Respuesta

Respuesta: 13

Conceptos:sustitución ecuación racional cuadrática

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Sea $y=x^2-10x$ para que los tres denominadores difieran solo por constantes

Set $y=x^2-10x$ so the three denominators differ only by constants

Pista grande:

Combina las dos primeras fracciones antes de eliminar los denominadores

Combine the first two fractions before clearing denominators

Solución:

Sea $y=x^2-10x.$ Al combinar las dos primeras fracciones y eliminar los denominadores no nulos se obtiene una igualdad entre $(y-37)(y-69)$ y $(y-29)(y-45).$ Al desarrollar y cancelar $y^2$ se obtiene $y=39.$ Así, $x^2-10x-39=0,$ por lo que $(x-13)(x+3)=0.$ La solución positiva es $13.$

Set $y=x^2-10x.$ Combining the first two fractions and clearing the nonzero denominators gives an equality between $(y-37)(y-69)$ and $(y-29)(y-45).$ Expanding and canceling $y^2$ yields $y=39.$ Thus $x^2-10x-39=0,$ so $(x-13)(x+3)=0.$ The positive solution is $13.$

1990 AIME Problema 4

Respuesta: 13

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años