Question

Dos círculos de radios $3$ y $6$ son tangentes exteriormente entre sí y tangentes interiormente a un círculo de radio $9.$ El círculo de radio $9$ tiene una cuerda que es tangente exterior común a los otros dos círculos. Halla el cuadrado de la longitud de esta cuerda.

Circles of radius $3$ and $6$ are externally tangent to each other and are internally tangent to a circle of radius $9.$ The circle of radius $9$ has a chord that is a common external tangent of the other two circles. Find the square of the length of this chord.

Respuesta

Respuesta: 224

Conceptos:circunferencias tangentes cuerda geometría analítica

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Los tres centros son colineales porque sus distancias por pares son $6,$ $3,$ y $9$

The three circle centers are collinear because their pairwise distances are $6,$ $3,$ and $9$

Pista grande:

Usa las distancias dirigidas desde los dos centros menores hasta la tangente común para hallar su distancia al centro mayor

Use signed distances from the two smaller centers to the common tangent to find its distance from the large center

Solución:

Coloca el centro del círculo de radio $9$ en el origen y los centros menores en $(-6,0)$ y $(3,0).$ Escribe la tangente exterior común como $\mathbf n\cdot(x,y)=c,$ donde $\mathbf n$ es un vector normal unitario. Sus distancias dirigidas a los dos centros difieren en $6-3=3,$ por lo que $9n_x=3$ y $n_x=\frac{1}{3}.$ Usar la distancia $3$ desde $(-6,0)$ da $|c|=5.$ Así, la cuerda está a $5$ unidades del centro mayor y el cuadrado de su longitud es $4(9^2-5^2)=4\cdot56=224.$

Put the radius- $9$ circle at the origin and the smaller centers at $(-6,0)$ and $(3,0).$ Write the common external tangent as $\mathbf n\cdot(x,y)=c,$ where $\mathbf n$ is a unit normal. Its signed distances from the two centers differ by $6-3=3,$ so $9n_x=3$ and $n_x=\frac{1}{3}.$ Using the distance $3$ from $(-6,0)$ gives $|c|=5.$ Thus the chord lies $5$ units from the large center, and its squared length is $4(9^2-5^2)=4\cdot56=224.$

1995 AIME Problema 4

Respuesta: 224

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años