Question

Halla el entero positivo $n$ para el cual $\begin{aligned}&\lfloor\log_2 1\rfloor+\lfloor\log_2 2\rfloor+\lfloor\log_2 3\rfloor\\&\quad+\cdots+\lfloor\log_2 n\rfloor=1994.\end{aligned}$ (Para un número real $x,$ $\lfloor x\rfloor$ es el mayor entero que no excede a $x.$ )

Find the positive integer $n$ for which $\begin{aligned}&\lfloor\log_2 1\rfloor+\lfloor\log_2 2\rfloor+\lfloor\log_2 3\rfloor\\&\quad+\cdots+\lfloor\log_2 n\rfloor=1994.\end{aligned}$ (For real $x,$ $\lfloor x\rfloor$ is the greatest integer not exceeding $x.$ )

Respuesta

Respuesta: 312

Conceptos:funciones piso y techo logaritmo potencia de 2

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Agrupa los enteros que tienen el mismo valor de $\lfloor\log_2 k\rfloor$

Group integers having the same value of $\lfloor\log_2 k\rfloor$

Pista grande:

Calcula la suma hasta $255$ ; a partir de ahí, cada nuevo término aporta inicialmente $8$

Compute the sum through $255$ , after which every new term initially contributes $8$

Solución:

Para $2^j\leq k<2^{j+1},$ el sumando es $j.$ Por lo tanto, la suma hasta $255=2^8-1$ es $\sum_{j=0}^7j2^j=(8-2)2^8+2=1538.$ La diferencia $1994-1538=456$ es $57\cdot8,$ así que incluimos $57$ enteros más a partir de $256.$ Por consiguiente, $n=255+57=312.$

For $2^j\leq k<2^{j+1},$ the summand is $j.$ Thus the sum through $255=2^8-1$ is $\sum_{j=0}^7j2^j=(8-2)2^8+2=1538.$ The remaining $1994-1538=456$ is $57\cdot8,$ so we include $57$ more integers beginning with $256.$ Hence $n=255+57=312.$

1994 AIME Problema 4

Respuesta: 312

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años