Question

En el triángulo de Pascal, cada entrada es la suma de las dos entradas situadas sobre ella. A continuación se muestran las primeras filas.

$\begin{array}{rl}0:&1\\1:&1\quad1\\2:&1\quad2\quad1\\3:&1\quad3\quad3\quad1\\4:&1\quad4\quad6\quad4\quad1\\5:&1\quad5\quad10\quad10\quad5\quad1\\6:&1\quad6\quad15\quad20\quad15\quad6\quad1\end{array}$

¿En qué fila del triángulo de Pascal aparecen tres entradas consecutivas en la razón $3:4:5$ ?

In Pascal’s Triangle, each entry is the sum of the two entries above it. The first few rows of the triangle are shown below.

$\begin{array}{rl}0:&1\\1:&1\quad1\\2:&1\quad2\quad1\\3:&1\quad3\quad3\quad1\\4:&1\quad4\quad6\quad4\quad1\\5:&1\quad5\quad10\quad10\quad5\quad1\\6:&1\quad6\quad15\quad20\quad15\quad6\quad1\end{array}$

In which row of Pascal’s Triangle do three consecutive entries occur that are in the ratio $3:4:5?$

Respuesta

Respuesta: 62

Conceptos:Triángulo de Pascal combinaciones sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Representa las tres entradas como $\binom nk,$ $\binom n{k+1},$ y $\binom n{k+2}$

Represent the three entries as $\binom nk,$ $\binom n{k+1},$ and $\binom n{k+2}$

Pista grande:

Usa las razones entre coeficientes binomiales consecutivos para obtener dos ecuaciones lineales en $n$ y $k$

Use the ratios of consecutive binomial coefficients to obtain two linear equations in $n$ and $k$

Solución:

Para tres entradas consecutivas que comienzan en la posición $k,$ $\begin{aligned}\frac{\binom n{k+1}}{\binom nk}&=\frac{n-k}{k+1}=\frac43,\\\frac{\binom n{k+2}}{\binom n{k+1}}&=\frac{n-k-1}{k+2}=\frac54.\end{aligned}$ Por lo tanto, $3n=7k+4$ y $4n=9k+14.$ Al resolver, se obtiene $k=26$ y $n=62.$

For three consecutive entries beginning at position $k,$ $\begin{aligned}\frac{\binom n{k+1}}{\binom nk}&=\frac{n-k}{k+1}=\frac43,\\\frac{\binom n{k+2}}{\binom n{k+1}}&=\frac{n-k-1}{k+2}=\frac54.\end{aligned}$ Thus $3n=7k+4$ and $4n=9k+14.$ Solving gives $k=26$ and $n=62.$

1992 AIME Problema 4

Respuesta: 62

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años