Question

Una tenista calcula su proporción de victorias dividiendo el número de partidos ganados entre el número total de partidos jugados. Al comienzo de un fin de semana, su proporción de victorias es exactamente $0.500.$ Durante ese fin de semana juega cuatro partidos, gana tres y pierde uno. Al terminar el fin de semana, su proporción de victorias es mayor que $0.503.$ ¿Cuál es el mayor número de partidos que podría haber ganado antes de comenzar el fin de semana?

A tennis player computes her win ratio by dividing the number of matches she has won by the total number of matches she has played. At the start of a weekend, her win ratio is exactly $0.500.$ During the weekend, she plays four matches, winning three and losing one. At the end of the weekend, her win ratio is greater than $0.503.$ What’s the largest number of matches she could’ve won before the weekend began?

Respuesta

Respuesta: 164

Conceptos:razón y proporción desigualdad porcentaje

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Si inicialmente había ganado $w$ partidos, una proporción de $0.500$ significa que había jugado $2w$ partidos

If she had $w$ wins initially, a $0.500$ ratio means she had played $2w$ matches

Pista grande:

Expresa la proporción final mediante una desigualdad estricta antes de buscar el mayor entero $w$

Translate the final ratio into a strict inequality before taking the largest integer $w$

Solución:

Si inicialmente había ganado $w$ partidos, entonces había jugado $2w$ partidos. La condición final es $\frac{w+3}{2w+4}\gt\frac{503}{1000}.$ Al multiplicar en cruz se obtiene $1000w+3000\gt1006w+2012,$ de modo que $6w\lt988$ y $w\lt164\frac23.$ El mayor entero posible es $164.$

If she initially had $w$ wins, then she had played $2w$ matches. The final condition is $\frac{w+3}{2w+4}\gt\frac{503}{1000}.$ Cross-multiplication gives $1000w+3000\gt1006w+2012,$ so $6w\lt988$ and $w\lt164\frac23.$ The largest possible integer is $164.$

1992 AIME Problema 3

Respuesta: 164

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años