Question

Si $\tan x+\tan y=25$ y $\cot x+\cot y=30,$ ¿cuánto vale $\tan(x+y)$ ?

If $\tan x+\tan y=25$ and $\cot x+\cot y=30,$ what is $\tan(x+y)?$

Respuesta

Respuesta: 150

Conceptos:manipulación algebraica identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

Expresa la suma de las cotangentes mediante $\tan x$ y $\tan y$

Express the sum of the cotangents using $\tan x$ and $\tan y$

Pista grande:

Usa la fórmula de adición de tangentes después de hallar $\tan x\tan y$

Use the tangent addition formula after finding $\tan x\tan y$

Solución:

Como $\cot x+\cot y =\frac{\tan x+\tan y}{\tan x\tan y},$ las ecuaciones dadas producen $\tan x\tan y=\frac{25}{30}=\frac{5}{6}.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} \tan(x+y) &=\frac{\tan x+\tan y} {1-\tan x\tan y}\\ &=\frac{25}{1-\frac56}\\ &=150. \end{aligned}$

Since $\cot x+\cot y =\frac{\tan x+\tan y}{\tan x\tan y},$ the given equations yield $\tan x\tan y=\frac{25}{30}=\frac{5}{6}.$ Therefore $\begin{aligned} \tan(x+y) &=\frac{\tan x+\tan y} {1-\tan x\tan y}\\ &=\frac{25}{1-\frac56}\\ &=150. \end{aligned}$

1986 AIME Problema 3

Respuesta: 150

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años