Question

Supón que $n$ es un entero positivo y que $d$ es un solo dígito en base $10.$ Halla $n$ si $\frac{n}{810}=0.d25d25d25\ldots.$

Suppose $n$ is a positive integer and $d$ is a single digit in base $10.$ Find $n$ if $\frac{n}{810}=0.d25d25d25\ldots.$

Respuesta

Respuesta: 750

Conceptos:dígitos divisibilidad decimal periódico

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Convierte el bloque periódico de tres dígitos en una fracción con denominador $999$

Convert the repeating three-digit block into a fraction with denominator $999$

Pista grande:

Usa que $n$ es entero para determinar qué dígito hace que $4d+1$ sea divisible por $37$

Use the integrality of $n$ to determine which digit makes $4d+1$ divisible by $37$

Solución:

El decimal periódico es $\frac{100d+25}{999}.$ Por lo tanto, $\begin{aligned}n&=\frac{810(100d+25)}{999}\\&=\frac{750(4d+1)}{37}.\end{aligned}$ Como $0\leq d\leq9,$ la única manera de que $4d+1$ sea divisible por $37$ es que $4d+1=37,$ de modo que $d=9$ y $n=750.$

The repeating decimal is $\frac{100d+25}{999}.$ Thus $\begin{aligned}n&=\frac{810(100d+25)}{999}\\&=\frac{750(4d+1)}{37}.\end{aligned}$ Since $0\leq d\leq9,$ the only way $4d+1$ can be divisible by $37$ is $4d+1=37,$ so $d=9$ and $n=750.$

1989 AIME Problema 3

Respuesta: 750

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años