Question

Hay diez puntos marcados en una circunferencia. ¿Cuántos polígonos convexos distintos de tres o más lados pueden dibujarse usando algunos (o todos) de los diez puntos como vértices?

Ten points are marked on a circle. How many distinct convex polygons of three or more sides can be drawn using some (or all) of the ten points as vertices?

Respuesta

Respuesta: 968

Conceptos:combinaciones conteo complementario subconjuntos

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Cada selección de al menos tres puntos marcados determina un polígono convexo

Each choice of at least three marked points determines one convex polygon

Pista grande:

Cuenta todos los subconjuntos y elimina los de tamaños $0,$ $1,$ y $2$

Count all subsets and remove those of sizes $0,$ $1,$ and $2$

Solución:

Cada subconjunto de al menos tres puntos determina exactamente un polígono convexo. Hay $2^{10}=1024$ subconjuntos en total. De ellos, $\binom{10}{0}=1,$ $\binom{10}{1}=10,$ y $\binom{10}{2}=45$ tienen menos de tres puntos. Por lo tanto, el número pedido es $1024-1-10-45=968.$

Every subset of at least three points determines exactly one convex polygon. There are $2^{10}=1024$ subsets in all. Of these, $\binom{10}{0}=1,$ $\binom{10}{1}=10,$ and $\binom{10}{2}=45$ have fewer than three points. Therefore the required number is $1024-1-10-45=968.$

1989 AIME Problema 2

Respuesta: 968

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años