Question

Durante una campaña electoral reciente, un candidato recorrió un país que suponemos situado en un plano. El primer día del recorrido fue hacia el este, el segundo hacia el norte, el tercero hacia el oeste, el cuarto hacia el sur, el quinto hacia el este, y así sucesivamente. Si el candidato recorrió $\frac{n^2}{2}$ millas el día $n$ -ésimo, ¿a cuántas millas de su punto de partida se encontraba al terminar el día $40$ ?

During a recent campaign for office, a candidate made a tour of a country which we assume lies in a plane. On the first day of the tour he went east, on the second day he went north, on the third day west, on the fourth day south, on the fifth day east, etc. If the candidate went $\frac{n^2}{2}$ miles on the $n$ th day of this tour, how many miles was he from his starting point at the end of the $40$ th day?

Respuesta

Respuesta: 580

Conceptos:sucesión aritmética fórmula de la distancia vector

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Agrupa los $40$ días en diez ciclos de cuatro días y suma por separado los desplazamientos horizontal y vertical

Group the $40$ days into ten four-day cycles and sum horizontal and vertical displacements separately

Pista grande:

Para el índice de ciclo $k,$ compara $(4k+1)^2$ con $(4k+3)^2$ , y compara de manera análoga el otro par

For cycle index $k,$ compare $(4k+1)^2$ with $(4k+3)^2$ , and similarly compare the other pair

Solución:

Numera los diez ciclos con $k=0,1,\ldots,9.$ El desplazamiento horizontal es $\begin{aligned}&\frac12\sum_{k=0}^9\left((4k+1)^2-(4k+3)^2\right)\\&\quad=\sum_{k=0}^9(-8k-4)\\&\quad=-400.\end{aligned}$ De manera análoga, el desplazamiento vertical es $\begin{aligned}&\frac12\sum_{k=0}^9\left((4k+2)^2-(4k+4)^2\right)\\&\quad=\sum_{k=0}^9(-8k-6)\\&\quad=-420.\end{aligned}$ Por lo tanto, la distancia al punto de partida es $\sqrt{400^2+420^2}=580.$

Index the ten cycles by $k=0,1,\ldots,9.$ The horizontal displacement is $\begin{aligned}&\frac12\sum_{k=0}^9\left((4k+1)^2-(4k+3)^2\right)\\&\quad=\sum_{k=0}^9(-8k-4)\\&\quad=-400.\end{aligned}$ Similarly, the vertical displacement is $\begin{aligned}&\frac12\sum_{k=0}^9\left((4k+2)^2-(4k+4)^2\right)\\&\quad=\sum_{k=0}^9(-8k-6)\\&\quad=-420.\end{aligned}$ Therefore the distance from the start is $\sqrt{400^2+420^2}=580.$

1993 AIME Problema 2

Respuesta: 580

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años