Question

Evalúa el producto $\begin{gathered} (\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(-\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(\sqrt5-\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(\sqrt5+\sqrt6-\sqrt7). \end{gathered}$

Evaluate the product $\begin{gathered} (\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(-\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(\sqrt5-\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(\sqrt5+\sqrt6-\sqrt7). \end{gathered}$

Respuesta

Respuesta: 104

Conceptos:manipulación algebraica diferencia de cuadrados radical

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Empareja los factores de modo que cada pareja sea una diferencia de cuadrados

Pair factors so that each pair is a difference of squares

Pista grande:

Después del primer emparejamiento, los radicales restantes solo aparecen mediante $\sqrt{42}$

After the first pairing, the remaining radicals occur only through $\sqrt{42}$

Solución:

Empareja los dos primeros factores y luego los dos últimos: $\begin{gathered} (\sqrt6+\sqrt7)^2-(\sqrt5)^2\\ {}=8+2\sqrt{42},\\ (\sqrt5)^2-(\sqrt7-\sqrt6)^2\\ {}=-8+2\sqrt{42}. \end{gathered}$ Por lo tanto, el producto pedido es $\begin{aligned} &(8+2\sqrt{42})(-8+2\sqrt{42})\\ &\qquad=168-64=104. \end{aligned}$

Pair the first two factors, then the last two: $\begin{gathered} (\sqrt6+\sqrt7)^2-(\sqrt5)^2\\ {}=8+2\sqrt{42},\\ (\sqrt5)^2-(\sqrt7-\sqrt6)^2\\ {}=-8+2\sqrt{42}. \end{gathered}$ Therefore the requested product is $\begin{aligned} &(8+2\sqrt{42})(-8+2\sqrt{42})\\ &\qquad=168-64=104. \end{aligned}$

1986 AIME Problema 2

Respuesta: 104

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años