Question

Al girar un triángulo rectángulo alrededor de un cateto, el volumen del cono generado es $800\pi\text{ cm}^3.$ Al girarlo alrededor del otro cateto, el volumen del cono generado es $1920\pi\text{ cm}^3.$ ¿Cuál es la longitud, en centímetros, de la hipotenusa del triángulo?

When a right triangle is rotated about one leg, the volume of the cone produced is $800\pi\text{ cm}^3.$ When the triangle is rotated about the other leg, the volume of the cone produced is $1920\pi\text{ cm}^3.$ What is the length (in cm) of the hypotenuse of the triangle?

Respuesta

Respuesta: 26

Conceptos:cono volumen Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Expresa los dos volúmenes de los conos en función de los catetos $a$ y $b$ del triángulo

Write the two cone volumes in terms of the triangle’s legs $a$ and $b$

Pista grande:

Al dividir las ecuaciones de volumen se obtiene la razón entre los dos catetos

Dividing the volume equations gives the ratio of the two legs

Solución:

Sean los catetos $a$ y $b.$ En un orden adecuado, $\begin{aligned} \frac13\pi b^2a&=800\pi,\\ \frac13\pi a^2b&=1920\pi. \end{aligned}$ Su cociente da $\frac{a}{b}=\frac{12}{5},$ así que escribimos $a=12k$ y $b=5k.$ La primera ecuación se convierte en $100k^3=800,$ de donde $k=2.$ Los catetos son $24$ y $10,$ por lo que la hipotenusa es $\sqrt{24^2+10^2}=26.$

Let the legs be $a$ and $b.$ In a suitable order, $\begin{aligned} \frac13\pi b^2a&=800\pi,\\ \frac13\pi a^2b&=1920\pi. \end{aligned}$ Their ratio gives $\frac{a}{b}=\frac{12}{5},$ so write $a=12k$ and $b=5k.$ The first equation becomes $100k^3=800,$ hence $k=2.$ The legs are $24$ and $10,$ so the hypotenuse is $\sqrt{24^2+10^2}=26.$

1985 AIME Problema 2

Respuesta: 26

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años