Question

Halla las tres últimas cifras del producto de las raíces positivas de $\sqrt{1995}\,x^{\log_{1995}x}=x^2.$

Find the last three digits of the product of the positive roots of $\sqrt{1995}\,x^{\log_{1995}x}=x^2.$

Respuesta

Respuesta: 25

Conceptos:logaritmo cuadrática aritmética modular

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Define $y=\log_{1995}x,$ de modo que $x=1995^y$

Set $y=\log_{1995}x,$ so $x=1995^y$

Pista grande:

Compara los exponentes de $1995$ y luego usa la suma de los dos valores de $y$

Compare exponents of $1995$ , then use the sum of the two values of $y$

Solución:

Sea $y=\log_{1995}x,$ de modo que $x=1995^y.$ La ecuación se convierte en $1995^{\frac{1}{2}+y^2}=1995^{2y},$ y por tanto $(y-1)^2=\frac{1}{2}.$ Los dos valores de $y$ tienen suma $2,$ así que el producto de las raíces positivas correspondientes es $1995^2.$ Como $1995\equiv-5\pmod {1000},$ sus tres últimas cifras son $025.$ La respuesta AIME pedida es $25.$

Put $y=\log_{1995}x,$ so $x=1995^y.$ The equation becomes $1995^{\frac{1}{2}+y^2}=1995^{2y},$ and hence $(y-1)^2=\frac{1}{2}.$ The two values of $y$ have sum $2,$ so the product of the corresponding positive roots is $1995^2.$ Since $1995\equiv-5\pmod {1000},$ its last three digits are $025.$ The requested AIME answer is $25.$

1995 AIME Problema 2

Respuesta: 25

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años