Question

¿Cuál es la mayor distancia posible entre dos puntos, uno sobre la esfera de radio $19$ con centro en $(-2,-10,5)$ y el otro sobre la esfera de radio $87$ con centro en $(12,8,-16)$ ?

What is the largest possible distance between two points, one on the sphere of radius $19$ centered at $(-2,-10,5)$ and the other on the sphere of radius $87$ centered at $(12,8,-16)?$

Respuesta

Respuesta: 137

Conceptos:esfera fórmula de la distancia desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Primero halla la distancia entre los dos centros

First find the distance between the two centers

Pista grande:

El máximo se alcanza sobre la recta de los centros, en los dos lados exteriores

The maximum occurs along the line of centers, on the two outward sides

Solución:

El cuadrado de la distancia entre los centros es $14^2+18^2+(-21)^2=961,$ así que están separados por $\sqrt{961}=31$ . Por la desigualdad triangular, la mayor distancia entre los puntos se obtiene sobre la recta de los centros y es $19+31+87=137.$

The squared distance between the centers is $14^2+18^2+(-21)^2=961,$ so they are $\sqrt{961}=31$ apart. By the triangle inequality, the greatest point-to-point distance is obtained on the line of centers and equals $19+31+87=137.$

1987 AIME Problema 2

Respuesta: 137

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años