Question

El entero $n$ es el menor múltiplo positivo de $15$ tal que cada dígito de $n$ es $8$ o $0.$ Calcula $\frac{n}{15}.$

The integer $n$ is the smallest positive multiple of $15$ such that every digit of $n$ is either $8$ or $0.$ Compute $\frac{n}{15}.$

Respuesta

Respuesta: 592

Conceptos:divisibilidad dígitos

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

La divisibilidad entre $5$ determina el último dígito

Divisibility by $5$ determines the last digit

Pista grande:

La divisibilidad entre $3$ restringe la cantidad de dígitos iguales a $8$

Divisibility by $3$ restricts the number of digits equal to $8$

Solución:

Un múltiplo de $15$ debe terminar en $0$ y tener una suma de dígitos divisible entre $3.$ Como $8\equiv2\pmod3,$ la cantidad de dígitos $8$ debe ser un múltiplo positivo de $3.$ Por lo tanto, el menor número posible tiene tres $8$ seguidos de un $0,$ a saber, $n=8880.$ Así, $\frac{n}{15}=592.$

A multiple of $15$ must end in $0$ and have digit sum divisible by $3.$ Because $8\equiv2\pmod3,$ the number of $8$ ’s must be a positive multiple of $3.$ The smallest possible number therefore has three $8$ ’s followed by $0,$ namely $n=8880.$ Thus $\frac{n}{15}=592.$

1984 AIME Problema 2

Respuesta: 592

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años