Question

Se elige un punto $P$ en el interior de $\triangle ABC$ de modo que, al trazar por $P$ rectas paralelas a los lados de $\triangle ABC,$ los triángulos más pequeños $t_1,$ $t_2,$ y $t_3$ de la figura tienen áreas $4,$ $9,$ y $49,$ respectivamente. Halla el área de $\triangle ABC.$

A point $P$ is chosen in the interior of $\triangle ABC$ so that when lines are drawn through $P$ parallel to the sides of $\triangle ABC,$ the resulting smaller triangles, $t_1,$ $t_2,$ and $t_3$ in the figure, have areas $4,$ $9,$ and $49,$ respectively. Find the area of $\triangle ABC.$

Respuesta

Respuesta: 144

Conceptos:semejanza razón de áreas

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Cada uno de los tres triángulos pequeños es semejante a $\triangle ABC$

Each of the three smaller triangles is similar to $\triangle ABC$

Pista grande:

Convierte cada razón de áreas en una razón de longitudes y suma las tres razones de longitudes

Convert each area ratio into a linear ratio and add the three linear ratios

Solución:

Sea el área de $\triangle ABC$ igual a $K.$ Los tres triángulos pequeños son semejantes a $\triangle ABC,$ por lo que sus razones de longitudes correspondientes son $\frac{2}{\sqrt K},\qquad \frac{3}{\sqrt K},\qquad \frac{7}{\sqrt K}.$ Cada factor de escala también es la distancia perpendicular de $P$ a un lado dividida entre la altura relativa a ese lado. Estas son las tres razones de áreas baricéntricas $\frac{[PBC]}{K},$ $\frac{[PCA]}{K},$ y $\frac{[PAB]}{K},$ cuya suma es $1.$ Por lo tanto, $\frac{2+3+7}{\sqrt K}=1.$ Así, $\sqrt K=12$ y $K=144.$

Let the area of $\triangle ABC$ be $K.$ The three small triangles are similar to $\triangle ABC,$ so their corresponding linear ratios are $\frac{2}{\sqrt K},\qquad \frac{3}{\sqrt K},\qquad \frac{7}{\sqrt K}.$ Each such scale factor is also the perpendicular distance from $P$ to one side divided by the altitude to that side. These are the three barycentric area ratios $\frac{[PBC]}{K},$ $\frac{[PCA]}{K},$ and $\frac{[PAB]}{K},$ which add to $1.$ Hence $\frac{2+3+7}{\sqrt K}=1.$ Therefore $\sqrt K=12$ and $K=144.$

1984 AIME Problema 3

Respuesta: 144

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años