Question

Halla $c$ si $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos que satisfacen $c=(a+bi)^3-107i,$ donde $i^2=-1.$

Find $c$ if $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers which satisfy $c=(a+bi)^3-107i,$ where $i^2=-1.$

Respuesta

Respuesta: 198

Conceptos:número complejo Ecuación diofántica factorización

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Desarrolla $(a+bi)^3$ e iguala su parte imaginaria a $107$

Expand $(a+bi)^3$ and set its imaginary part equal to $107$

Pista grande:

La ecuación resultante muestra que el entero positivo $b$ divide a $107$

The resulting equation shows that the positive integer $b$ divides $107$

Solución:

Al desarrollar y usar que $c$ es real se obtiene $b(3a^2-b^2)=107.$ Como $107$ es primo, $b=1$ o $107.$ La segunda posibilidad exigiría $3a^2=11450,$ lo cual es imposible. Por tanto, $b=1,$ y $3a^2-1=107,$ de donde $a=6.$ La parte real es $c=a^3-3ab^2=216-18=198.$

Expanding and using that $c$ is real gives $b(3a^2-b^2)=107.$ Since $107$ is prime, $b=1$ or $107.$ The latter would require $3a^2=11450,$ which is impossible. Thus $b=1,$ and $3a^2-1=107,$ so $a=6.$ The real part is $c=a^3-3ab^2=216-18=198.$

1985 AIME Problema 3

Respuesta: 198

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años