Question

¿Cuál es el producto de las raíces reales de la ecuación $\begin{gathered} x^2+18x+30\\ {}=2\sqrt{x^2+18x+45}? \end{gathered}$

What is the product of the real roots of the equation $\begin{gathered} x^2+18x+30\\ {}=2\sqrt{x^2+18x+45}? \end{gathered}$

Respuesta

Respuesta: 20

Conceptos:radical sustitución Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

La expresión fuera del radical es $15$ menor que el radicando

The expression outside the radical is $15$ less than the radicand

Pista grande:

Sea $t=\sqrt{x^2+18x+45}$ y resuelve $t^2-15=2t$

Set $t=\sqrt{x^2+18x+45}$ and solve $t^2-15=2t$

Solución:

Sea $t=\sqrt{x^2+18x+45},$ de modo que $t\geq0.$ La ecuación se convierte en $t^2-15=2t,$ o $(t-5)(t+3)=0.$ Por tanto, $t=5,$ y $x^2+18x+45=25,$ así que las raíces reales satisfacen $x^2+18x+20=0.$ Por las fórmulas de Vieta, su producto es $20.$

Set $t=\sqrt{x^2+18x+45},$ so $t\geq0.$ The equation becomes $t^2-15=2t,$ or $(t-5)(t+3)=0.$ Thus $t=5,$ and $x^2+18x+45=25,$ so the real roots satisfy $x^2+18x+20=0.$ By Vieta’s formulas, their product is $20.$

1983 AIME Problema 3

Respuesta: 20

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años