Question

La función $f$ tiene la propiedad de que, para todo número real $x,$ $f(x)+f(x-1)=x^2.$ Si $f(19)=94,$ ¿cuál es el residuo al dividir $f(94)$ entre $1000$ ?

The function $f$ has the property that, for each real number $x,$ $f(x)+f(x-1)=x^2.$ If $f(19)=94,$ what is the remainder when $f(94)$ is divided by $1000?$

Respuesta

Respuesta: 561

Conceptos:recursión sumatoria aritmética modular

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Primero usa $x=20$ para hallar $f(20)$

First use $x=20$ to find $f(20)$

Pista grande:

Elimina los términos alternados deduciendo una recurrencia de $f(x)$ a $f(x-2)$

Eliminate alternating terms by deriving a recurrence from $f(x)$ to $f(x-2)$

Solución:

Primero, $f(20)=20^2-f(19)=306.$ Al avanzar dos pasos se obtiene $\begin{aligned}f(x)&=x^2-(x-1)^2+f(x-2)\\&=2x-1+f(x-2).\end{aligned}$ Por lo tanto, $\begin{aligned}f(94)&=306+\sum_{j=11}^{47}(4j-1)\\&=306+4(1073)-37\\&=4561.\end{aligned}$ El residuo pedido es $561.$

First $f(20)=20^2-f(19)=306.$ Subtracting through two steps gives $\begin{aligned}f(x)&=x^2-(x-1)^2+f(x-2)\\&=2x-1+f(x-2).\end{aligned}$ Therefore $\begin{aligned}f(94)&=306+\sum_{j=11}^{47}(4j-1)\\&=306+4(1073)-37\\&=4561.\end{aligned}$ The requested remainder is $561.$

1994 AIME Problema 3

Respuesta: 561

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años