Question

Un divisor propio de un número natural es un divisor entero positivo distinto de $1$ y del propio número. Un número natural mayor que $1$ se llama «bonito» si es igual al producto de sus distintos divisores propios. ¿Cuál es la suma de los primeros diez números bonitos?

A proper divisor of a natural number is a positive integral divisor other than $1$ and the number itself. A natural number greater than $1$ is called “nice” if it equals the product of its distinct proper divisors. What is the sum of the first ten nice numbers?

Respuesta

Respuesta: 182

Conceptos:conteo de factores factorización en primos

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Expresa el producto de todos los divisores positivos en función del número y de su cantidad de divisores

Express the product of all positive divisors in terms of the number and its divisor count

Pista grande:

Los números bonitos son exactamente los que tienen cuatro divisores positivos

The nice numbers are exactly those having four positive divisors

Solución:

Si $N$ tiene $d$ divisores positivos, su producto es $N^{\frac{d}{2}}.$ Al eliminar $1$ y $N$ , queda el producto $N^{\frac{d}{2}-1},$ que es igual a $N$ exactamente cuando $d=4.$ Por tanto, los números bonitos son precisamente los de la forma $p^3$ y $pq$ , con primos distintos en el segundo caso. Los primeros diez son $6,$ $8,$ $10,$ $14,$ $15,$ $21,$ $22,$ $26,$ $27,$ $33,$ cuya suma es $182.$

If $N$ has $d$ positive divisors, their product is $N^{\frac{d}{2}}.$ Removing $1$ and $N$ leaves product $N^{\frac{d}{2}-1},$ which equals $N$ exactly when $d=4.$ Thus nice numbers are precisely $p^3$ and $pq$ for distinct primes. The first ten are $6,$ $8,$ $10,$ $14,$ $15,$ $21,$ $22,$ $26,$ $27,$ $33,$ whose sum is $182.$

1987 AIME Problema 3

Respuesta: 182

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años