Question

Halla el área de la región encerrada por la gráfica de $|x-60|+|y|=|\frac{x}{4}|.$

Find the area of the region enclosed by the graph of $|x-60|+|y|=|\frac{x}{4}|.$

Respuesta

Respuesta: 480

Conceptos:valor absoluto geometría analítica cometa

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Despeja $|y|$ y determina dónde su lado derecho es no negativo

Solve for $|y|$ and determine where its right-hand side is nonnegative

Pista grande:

La frontera es un deltoide cuyos vértices aparecen en los puntos de cambio de los valores absolutos

The boundary is a kite whose vertices occur at the breakpoints of the absolute values

Solución:

Necesitamos $|y|=\frac{|x|}{4}-|x-60|\geq0.$ Esto obliga a que $48\leq x\leq80.$ Para $x=48,$ $x=60,$ $x=80,$ los valores de la frontera son, respectivamente, $y=0,$ $y=\pm15,$ $y=0.$ Por tanto, la región es un deltoide con diagonales perpendiculares de longitudes $80-48=32$ y $30,$ por lo que su área es $\frac12(32)(30)=480.$

We need $|y|=\frac{|x|}{4}-|x-60|\geq0.$ This forces $48\leq x\leq80.$ At $x=48,$ $x=60,$ $x=80,$ the boundary values are respectively $y=0,$ $y=\pm15,$ $y=0.$ Hence the region is a kite with perpendicular diagonals $80-48=32$ and $30,$ so its area is $\frac12(32)(30)=480.$

1987 AIME Problema 4

Respuesta: 480

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años