Question

¿Cuántos números reales $x$ satisfacen la ecuación $\frac15\log_2x=\sin(5\pi x)?$

How many real numbers $x$ satisfy the equation $\frac15\log_2x=\sin(5\pi x)?$

Respuesta

Respuesta: 159

Conceptos:trigonometría logaritmo conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

La cota $\lvert\sin(5\pi x)\rvert\leq1$ restringe $x$ a un intervalo finito

The bound $\lvert\sin(5\pi x)\rvert\leq1$ restricts $x$ to a finite interval

Pista grande:

Separa las semiondas positivas y negativas de la función seno y cuenta dos intersecciones en cada semionda completa admisible

Separate the positive and negative half-waves of the sine function and count two crossings on each eligible full half-wave

Solución:

Sea $h(x)=\sin(5\pi x)-\frac15\log_2x.$ Toda raíz pertenece a $[2^{-5},2^5]=[\frac{1}{32},32].$

Para $x<1,$ una raíz solo puede aparecer en una semionda negativa del seno. Hay dos semiondas de este tipo, $(\frac{1}{5},\frac{2}{5})$ y $(\frac{3}{5},\frac{4}{5}).$ En cada una, $h$ es positiva en ambos extremos y negativa en el punto medio, por lo que hay dos raíces. La unicidad en la mitad descendente se deduce de la monotonía; en la mitad ascendente, $\begin{aligned}h''&=-25\pi^2\sin(5\pi x)\\&\quad+\frac1{5x^2\ln2}>0,\end{aligned}$ de modo que $h'$ aumenta desde un valor negativo en el punto medio y se anula una sola vez. Por tanto, $h$ primero decrece y luego aumenta desde un valor negativo en el punto medio hasta un valor positivo en el extremo, lo que da exactamente una raíz en esta mitad. Así, hay $4$ raíces menores que $1.$

Además, $x=1$ es una raíz. Para $1<x<32,$ las raíces solo pueden aparecer en las semiondas positivas $(\frac{2m}{5},\frac{2m+1}{5})$ con $m=3,$ $4,$ $\ldots,$ $79.$ Hay $77$ de ellas. El valor de $h$ es negativo en cada extremo y positivo en el punto medio. La mitad derecha es estrictamente decreciente. En la mitad izquierda, $\begin{aligned}h'''&=-125\pi^3\cos(5\pi x)\\&\quad-\frac2{5x^3\ln2}<0,\end{aligned}$ por lo que $h'$ es estrictamente cóncava. Es positiva en el extremo izquierdo y negativa en el punto medio, así que cambia de signo exactamente una vez. En consecuencia, $h$ sube hasta un único máximo y luego baja hasta un punto medio que todavía es positivo, lo que da exactamente una intersección en la mitad izquierda. Por consiguiente, cada una de estas semiondas aporta exactamente dos raíces. Por lo tanto, el total es $4+1+2(77)=159.$

Let $h(x)=\sin(5\pi x)-\frac15\log_2x.$ Any root lies in $[2^{-5},2^5]=[\frac{1}{32},32].$

For $x<1,$ a root can occur only on a negative half-wave of the sine. There are two such half-waves, $(\frac{1}{5},\frac{2}{5})$ and $(\frac{3}{5},\frac{4}{5}).$ On each, $h$ is positive at both endpoints and negative at the midpoint, so there are two roots. Uniqueness on the descending half follows from monotonicity; on the ascending half, $\begin{aligned}h''&=-25\pi^2\sin(5\pi x)\\&\quad+\frac1{5x^2\ln2}>0,\end{aligned}$ so $h'$ increases from a negative value at the midpoint and vanishes once. The function $h$ therefore first decreases and then increases from a negative midpoint value to a positive endpoint value, giving exactly one root on this half. Thus there are $4$ roots below $1.$

Also $x=1$ is a root. For $1<x<32,$ roots can occur only on positive half-waves $(\frac{2m}{5},\frac{2m+1}{5})$ with $m=3,$ $4,$ $\ldots,$ $79.$ There are $77$ of these. The value of $h$ is negative at each endpoint and positive at the midpoint. The right half is strictly decreasing. On the left half, $\begin{aligned}h'''&=-125\pi^3\cos(5\pi x)\\&\quad-\frac2{5x^3\ln2}<0,\end{aligned}$ so $h'$ is strictly concave. It is positive at the left endpoint and negative at the midpoint, so it changes sign exactly once. Consequently, $h$ rises to one maximum and then falls to a still-positive midpoint, giving exactly one crossing on the left half. Hence every such half-wave contributes exactly two roots. Therefore the total number is $4+1+2(77)=159.$

1991 AIME Problema 4

Respuesta: 159

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años