Question

Al desarrollar $(1+0.2)^{1000}$ mediante el teorema del binomio, sin efectuar ninguna manipulación adicional, se obtiene $\begin{aligned}&\binom{1000}{0}(0.2)^0+\binom{1000}{1}(0.2)^1\\&+\binom{1000}{2}(0.2)^2+\cdots\\&+\binom{1000}{1000}(0.2)^{1000}\\&=A_0+A_1+\cdots+A_{1000},\end{aligned}$ donde $A_k=\binom{1000}{k}(0.2)^k$ para $k=0,$ $1,$ $2,$ $\ldots,$ $1000.$ ¿Para qué valor de $k$ es $A_k$ el mayor?

Expanding $(1+0.2)^{1000}$ by the binomial theorem and doing no further manipulation gives $\begin{aligned}&\binom{1000}{0}(0.2)^0+\binom{1000}{1}(0.2)^1\\&+\binom{1000}{2}(0.2)^2+\cdots\\&+\binom{1000}{1000}(0.2)^{1000}\\&=A_0+A_1+\cdots+A_{1000},\end{aligned}$ where $A_k=\binom{1000}{k}(0.2)^k$ for $k=0,$ $1,$ $2,$ $\ldots,$ $1000.$ For which $k$ is $A_k$ the largest?

Respuesta

Respuesta: 166

Conceptos:teorema del binomio desigualdad optimización

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Compara $A_{k+1}$ directamente con $A_k$ en vez de estimar los coeficientes binomiales

Compare $A_{k+1}$ directly with $A_k$ instead of estimating the binomial coefficients

Pista grande:

Halla el último $k$ para el cual $\frac{A_{k+1}}{A_k}$ es mayor que $1$

Find the last $k$ for which $\frac{A_{k+1}}{A_k}$ is greater than $1$

Solución:

Los términos consecutivos satisfacen $\frac{A_{k+1}}{A_k}=\frac{1000-k}{k+1}\cdot\frac15.$ Esta razón es mayor que $1$ exactamente cuando $1000-k>5k+5,$ es decir, cuando $k<\frac{995}{6}.$ Por lo tanto, los términos aumentan hasta $A_{166}$ y disminuyen después. En consecuencia, el término mayor es $A_{166}.$

Consecutive terms satisfy $\frac{A_{k+1}}{A_k}=\frac{1000-k}{k+1}\cdot\frac15.$ This ratio exceeds $1$ exactly when $1000-k>5k+5,$ or $k<\frac{995}{6}.$ Thus the terms increase through $A_{166}$ and decrease afterward. Therefore the largest term is $A_{166}.$

1991 AIME Problema 3

Respuesta: 166

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años