Question

Sea $P_1$ un polígono regular de $r$ lados y $P_2$ un polígono regular de $s$ lados $(r\geq s\geq3)$ , tales que cada ángulo interior de $P_1$ mide $\frac{59}{58}$ de cada ángulo interior de $P_2.$ ¿Cuál es el mayor valor posible de $s$ ?

Let $P_1$ be a regular $r$ -gon and $P_2$ be a regular $s$ -gon $(r\geq s\geq3)$ such that each interior angle of $P_1$ is $\frac{59}{58}$ as large as each interior angle of $P_2.$ What is the largest possible value of $s?$

Respuesta

Respuesta: 117

Conceptos:polígono regular divisibilidad Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Usa $\frac{180(n-2)}{n}$ para el ángulo interior de un polígono regular de $n$ lados

Use $\frac{180(n-2)}{n}$ for the interior angle of a regular $n$ -gon

Pista grande:

Después de simplificar, sea $t=118-s$ y usa que $t$ es positivo

After simplifying, set $t=118-s$ and use the positivity of $t$

Solución:

La condición sobre los ángulos da $\frac{\frac{r-2}{r}}{\frac{s-2}{s}}=\frac{59}{58},$ que se simplifica a $r(118-s)=116s.$ Sea $t=118-s.$ Entonces $r=\frac{13688}{t}-116.$ En particular, $t$ es un divisor positivo de $13688,$ y maximizar $s=118-t$ exige tomar el menor $t$ posible. La elección $t=1$ da $s=117$ y el entero positivo $r=13572,$ que también satisface $r\geq s.$ Por lo tanto, el mayor valor posible de $s$ es $117.$

The angle condition gives $\frac{\frac{r-2}{r}}{\frac{s-2}{s}}=\frac{59}{58},$ which simplifies to $r(118-s)=116s.$ Put $t=118-s.$ Then $r=\frac{13688}{t}-116.$ In particular, $t$ is a positive divisor of $13688,$ and maximizing $s=118-t$ means taking the least possible $t.$ The choice $t=1$ gives $s=117$ and the positive integer $r=13572,$ which also satisfies $r\geq s.$ Hence the largest possible $s$ is $117.$

1990 AIME Problema 3

Respuesta: 117

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años