1990 AIME — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

3:00:00

1.

La sucesión creciente $2,$ $3,$ $5,$ $6,$ $7,$ $10,$ $11,$ $\ldots$ está formada por todos los enteros positivos que no son ni el cuadrado ni el cubo de un entero positivo. Halla el término $500$ de esta sucesión.

The increasing sequence $2,$ $3,$ $5,$ $6,$ $7,$ $10,$ $11,$ $\ldots$ consists of all positive integers that are neither the square nor the cube of a positive integer. Find the $500$ th term of this sequence.

Respuesta

Respuesta: 528

Conceptos:conteo de enteros en un rango inclusión-exclusión cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Cuenta los cuadrados y los cubos hasta un extremo candidato mediante inclusión-exclusión

Count squares and cubes up to a candidate endpoint by inclusion-exclusion

Pista grande:

Los números que son a la vez cuadrados y cubos son sextas potencias

Numbers that are both squares and cubes are sixth powers

Solución:

Hasta $529,$ hay $\lfloor\sqrt{529}\rfloor=23$ cuadrados, $8$ cubos y $2$ sextas potencias contadas en ambos grupos. Por lo tanto, el número de términos permitidos que no superan $529$ es $529-23-8+2=500.$ Pero $529=23^2$ queda excluido, mientras que $528$ no es cuadrado ni cubo. Por consiguiente, el término $500$ es $528.$

Through $529,$ there are $\lfloor\sqrt{529}\rfloor=23$ squares, $8$ cubes, and $2$ sixth powers counted in both groups. Thus the number of allowed terms at most $529$ is $529-23-8+2=500.$ But $529=23^2$ is excluded, while $528$ is neither a square nor a cube. Therefore the $500$ th term is $528.$

2.

Halla el valor de $\begin{aligned}&(52+6\sqrt{43})^{\frac{3}{2}}\\&\quad-(52-6\sqrt{43})^{\frac{3}{2}}.\end{aligned}$

Find the value of $\begin{aligned}&(52+6\sqrt{43})^{\frac{3}{2}}\\&\quad-(52-6\sqrt{43})^{\frac{3}{2}}.\end{aligned}$

Respuesta

Respuesta: 828

Conceptos:radical cuadrado perfecto suma y diferencia de cubos

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Expresa $52\pm6\sqrt{43}$ como cuadrados de expresiones radicales conjugadas

Express $52\pm6\sqrt{43}$ as squares of conjugate radical expressions

Pista grande:

Después de elevar a la potencia $\frac{3}{2}$ , desarrolla simétricamente la diferencia de los dos cubos

After taking the $\frac{3}{2}$ powers, expand the difference of the two cubes symmetrically

Solución:

Como $52\pm6\sqrt{43}=(\sqrt{43}\pm3)^2$ y $\sqrt{43}\gt3,$ la expresión es $(\sqrt{43}+3)^3-(\sqrt{43}-3)^3.$ Al usar $(x+y)^3-(x-y)^3=6x^2y+2y^3$ con $x=\sqrt{43}$ y $y=3$ , se obtiene $\begin{aligned}6(43)(3)+2(27)&=774+54\\&=828.\end{aligned}$

Since $52\pm6\sqrt{43}=(\sqrt{43}\pm3)^2$ and $\sqrt{43}\gt3,$ the expression is $(\sqrt{43}+3)^3-(\sqrt{43}-3)^3.$ Using $(x+y)^3-(x-y)^3=6x^2y+2y^3$ with $x=\sqrt{43}$ and $y=3$ gives $\begin{aligned}6(43)(3)+2(27)&=774+54\\&=828.\end{aligned}$

3.

Sea $P_1$ un polígono regular de $r$ lados y $P_2$ un polígono regular de $s$ lados $(r\geq s\geq3)$ , tales que cada ángulo interior de $P_1$ mide $\frac{59}{58}$ de cada ángulo interior de $P_2.$ ¿Cuál es el mayor valor posible de $s$ ?

Let $P_1$ be a regular $r$ -gon and $P_2$ be a regular $s$ -gon $(r\geq s\geq3)$ such that each interior angle of $P_1$ is $\frac{59}{58}$ as large as each interior angle of $P_2.$ What is the largest possible value of $s?$

Respuesta

Respuesta: 117

Conceptos:polígono regular divisibilidad Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Usa $\frac{180(n-2)}{n}$ para el ángulo interior de un polígono regular de $n$ lados

Use $\frac{180(n-2)}{n}$ for the interior angle of a regular $n$ -gon

Pista grande:

Después de simplificar, sea $t=118-s$ y usa que $t$ es positivo

After simplifying, set $t=118-s$ and use the positivity of $t$

Solución:

La condición sobre los ángulos da $\frac{\frac{r-2}{r}}{\frac{s-2}{s}}=\frac{59}{58},$ que se simplifica a $r(118-s)=116s.$ Sea $t=118-s.$ Entonces $r=\frac{13688}{t}-116.$ En particular, $t$ es un divisor positivo de $13688,$ y maximizar $s=118-t$ exige tomar el menor $t$ posible. La elección $t=1$ da $s=117$ y el entero positivo $r=13572,$ que también satisface $r\geq s.$ Por lo tanto, el mayor valor posible de $s$ es $117.$

The angle condition gives $\frac{\frac{r-2}{r}}{\frac{s-2}{s}}=\frac{59}{58},$ which simplifies to $r(118-s)=116s.$ Put $t=118-s.$ Then $r=\frac{13688}{t}-116.$ In particular, $t$ is a positive divisor of $13688,$ and maximizing $s=118-t$ means taking the least possible $t.$ The choice $t=1$ gives $s=117$ and the positive integer $r=13572,$ which also satisfies $r\geq s.$ Hence the largest possible $s$ is $117.$

4.

Halla la solución positiva de $\begin{aligned}&\frac1{x^2-10x-29}\\&\quad+\frac1{x^2-10x-45}\\&\quad-\frac2{x^2-10x-69}=0.\end{aligned}$

Find the positive solution to $\begin{aligned}&\frac1{x^2-10x-29}\\&\quad+\frac1{x^2-10x-45}\\&\quad-\frac2{x^2-10x-69}=0.\end{aligned}$

Respuesta

Respuesta: 13

Conceptos:sustitución ecuación racional cuadrática

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Sea $y=x^2-10x$ para que los tres denominadores difieran solo por constantes

Set $y=x^2-10x$ so the three denominators differ only by constants

Pista grande:

Combina las dos primeras fracciones antes de eliminar los denominadores

Combine the first two fractions before clearing denominators

Solución:

Sea $y=x^2-10x.$ Al combinar las dos primeras fracciones y eliminar los denominadores no nulos se obtiene una igualdad entre $(y-37)(y-69)$ y $(y-29)(y-45).$ Al desarrollar y cancelar $y^2$ se obtiene $y=39.$ Así, $x^2-10x-39=0,$ por lo que $(x-13)(x+3)=0.$ La solución positiva es $13.$

Set $y=x^2-10x.$ Combining the first two fractions and clearing the nonzero denominators gives an equality between $(y-37)(y-69)$ and $(y-29)(y-45).$ Expanding and canceling $y^2$ yields $y=39.$ Thus $x^2-10x-39=0,$ so $(x-13)(x+3)=0.$ The positive solution is $13.$

5.

Sea $n$ el menor entero positivo que es múltiplo de $75$ y tiene exactamente $75$ divisores enteros positivos, incluidos $1$ y él mismo. Halla $\frac{n}{75}.$

Let $n$ be the smallest positive integer that is a multiple of $75$ and has exactly $75$ positive integral divisors, including $1$ and itself. Find $\frac{n}{75}.$

Respuesta

Respuesta: 432

Conceptos:conteo de factores factorización en primos optimización

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Descompón $75$ en posibles productos de números que sean uno más que los exponentes primos

Factor $75$ into possible products of numbers one greater than prime exponents

Pista grande:

El patrón de exponentes $(4,4,2)$ puede incluir los factores requeridos $3$ y $5^2$ , asignando los mayores exponentes a los menores primos

The exponent pattern $(4,4,2)$ can include the required factors $3$ and $5^2$ while assigning the largest exponents to the smallest primes

Solución:

Las particiones multiplicativas de $75$ dan los patrones de exponentes $(74),$ $(24,2),$ $(14,4),$ y $(4,4,2).$ Un número divisible por $75=3\cdot5^2$ necesita los dos primos $3$ y $5,$ así que el patrón de un solo primo es imposible. Los menores candidatos de los patrones de dos primos son $3^{24}5^2$ y $3^{14}5^4,$ respectivamente. El menor candidato con tres primos es $n=2^4\cdot3^4\cdot5^2.$ Tiene $(4+1)(4+1)(2+1)=75$ divisores, y cada candidato con dos primos es mayor porque $\frac{3^{24}5^2}{n}=\frac{3^{20}}{16}\gt1$ y $\frac{3^{14}5^4}{n}=\frac{3^{10}5^2}{16}\gt1.$ Por lo tanto, $\frac n{75}=\frac{2^4\cdot3^4\cdot5^2}{3\cdot5^2}=2^4\cdot3^3=432.$

The multiplicative partitions of $75$ give exponent patterns $(74),$ $(24,2),$ $(14,4),$ and $(4,4,2).$ A number divisible by $75=3\cdot5^2$ needs both primes $3$ and $5,$ so the one-prime pattern is impossible. The smallest candidates from the two-prime patterns are $3^{24}5^2$ and $3^{14}5^4,$ respectively. The smallest three-prime candidate is $n=2^4\cdot3^4\cdot5^2.$ It has $(4+1)(4+1)(2+1)=75$ divisors, and each two-prime candidate is larger because $\frac{3^{24}5^2}{n}=\frac{3^{20}}{16}\gt1$ and $\frac{3^{14}5^4}{n}=\frac{3^{10}5^2}{16}\gt1.$ Therefore $\frac n{75}=\frac{2^4\cdot3^4\cdot5^2}{3\cdot5^2}=2^4\cdot3^3=432.$

6.

Una bióloga quiere calcular el número de peces de un lago. El $1$ de mayo captura una muestra aleatoria de $60$ peces, los marca y los suelta. El $1$ de septiembre captura una muestra aleatoria de $70$ peces y descubre que $3$ están marcados. Para calcular el número de peces que había en el lago el $1$ de mayo, supone que el $25\%$ de esos peces ya no está en el lago el $1$ de septiembre (por muertes y emigraciones), que el $40\%$ de los peces no estaba en el lago el $1$ de mayo (por nacimientos e inmigraciones), y que las cantidades de peces sin marca y con marca de la muestra del $1$ de septiembre son representativas de la población total. ¿Qué número de peces calcula la bióloga que había en el lago el $1$ de mayo?

A biologist wants to calculate the number of fish in a lake. On May $1$ she catches a random sample of $60$ fish, tags them, and releases them. On September $1$ she catches a random sample of $70$ fish and finds that $3$ of them are tagged. To calculate the number of fish in the lake on May $1,$ she assumes that $25\%$ of these fish are no longer in the lake on September $1$ (because of death and emigrations), that $40\%$ of the fish were not in the lake May $1$ (because of births and immigrations), and that the number of untagged fish and tagged fish in the September $1$ sample are representative of the total population. What does the biologist calculate for the number of fish in the lake on May $1?$

Respuesta

Respuesta: 840

Conceptos:porcentaje razón y proporción muestreo sin reemplazo

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Determina primero cuántos de los peces marcados originalmente permanecen en septiembre

First determine how many of the original tagged fish remain in September

Pista grande:

Usa la fracción marcada de la muestra para estimar la población de septiembre y luego identifica el $60\%$ que estaba presente en mayo

Use the sample’s tagged fraction to estimate the September population, then identify the $60\%$ that were present in May

Solución:

De los $60$ peces marcados, el $75\%$ permanece en septiembre, de modo que quedan $45$ peces marcados. La muestra estima que los peces marcados constituyen $\frac{3}{70}$ de la población de septiembre, por lo que esa población es $45\left(\frac{70}{3}\right)=1050.$ De esos peces, el $60\%$ estaba presente en mayo, así que quedan $630$ peces supervivientes de mayo. Estos representan el $75\%$ de la población de mayo. Por lo tanto, la población estimada de mayo es $\frac{630}{0.75}=840.$

Of the $60$ tagged fish, $75\%$ remain in September, so $45$ tagged fish remain. The sample estimates that tagged fish form $\frac{3}{70}$ of the September population, making that population $45\left(\frac{70}{3}\right)=1050.$ Of those fish, $60\%$ were present in May, so $630$ surviving May fish remain. These are $75\%$ of the May population. Thus the estimated May population is $\frac{630}{0.75}=840.$

7.

Un triángulo tiene vértices $P=(-8,5),$ $Q=(-15,-19),$ y $R=(1,-7).$ La ecuación de la bisectriz de $\angle P$ puede escribirse en la forma $ax+2y+c=0.$ Halla $a+c.$

A triangle has vertices $P=(-8,5),$ $Q=(-15,-19),$ and $R=(1,-7).$ The equation of the bisector of $\angle P$ can be written in the form $ax+2y+c=0.$ Find $a+c.$

Respuesta

Respuesta: 89

Conceptos:bisectriz geometría analítica vector

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Halla los vectores unitarios desde $P$ hacia $Q$ y $R$

Find the unit vectors from $P$ toward $Q$ and $R$

Pista grande:

La dirección de la bisectriz interior es la suma de los dos vectores unitarios

The internal angle-bisector direction is the sum of the two unit vectors

Solución:

Tenemos $\overrightarrow{PQ}=(-7,-24)$ de longitud $25,$ y $\overrightarrow{PR}=(9,-12)$ de longitud $15.$ La suma de sus vectores unitarios es $\begin{aligned}v&=\left(-\frac7{25},-\frac{24}{25}\right)\\&\quad+\left(\frac35,-\frac45\right)\\&=\frac1{25}(8,-44),\end{aligned}$ así que la bisectriz tiene dirección $(2,-11).$ Un vector normal es $(11,2).$ Como pasa por $P=(-8,5),$ su ecuación es $11(x+8)+2(y-5)=0,$ o bien $11x+2y+78=0.$ Por consiguiente, $a+c=11+78=89.$

We have $\overrightarrow{PQ}=(-7,-24)$ with length $25,$ and $\overrightarrow{PR}=(9,-12)$ with length $15.$ The sum of their unit vectors is $\begin{aligned}v&=\left(-\frac7{25},-\frac{24}{25}\right)\\&\quad+\left(\frac35,-\frac45\right)\\&=\frac1{25}(8,-44),\end{aligned}$ so the angle bisector has direction $(2,-11).$ A normal vector is $(11,2).$ Through $P=(-8,5),$ its equation is $11(x+8)+2(y-5)=0,$ or $11x+2y+78=0.$ Hence $a+c=11+78=89.$

8.

En una competencia de tiro, se colocan ocho platos de arcilla en dos columnas colgantes de tres platos cada una y una columna de dos platos. Un tirador debe romper todos los platos de acuerdo con las siguientes reglas:

$(1)$ El tirador elige primero una columna de la cual romperá un plato.

$(2)$ Después debe romper el plato restante más bajo de la columna elegida.

Si se siguen las reglas, ¿en cuántos órdenes distintos pueden romperse los ocho platos?

In a shooting match, eight clay targets are arranged in two hanging columns of three targets each and one column of two targets. A marksman is to break all the targets according to the following rules:

$(1)$ The marksman first chooses a column from which a target is to be broken.

$(2)$ The marksman must then break the lowest remaining target in the chosen column.

If the rules are followed, in how many different orders can the eight targets be broken?

Respuesta

Respuesta: 560

Conceptos:permutaciones de multiconjuntos arreglos con restricciones combinaciones

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Dentro de cada columna, el orden de abajo hacia arriba está fijado

Within each column, the bottom-to-top order is forced

Pista grande:

Codifica un orden solo mediante la secuencia de columnas elegidas, con multiplicidades $3,$ $3,$ y $2$

Encode an order only by the sequence of chosen columns, with multiplicities $3,$ $3,$ and $2$

Solución:

Una vez conocida la columna elegida en cada disparo, el plato de esa columna queda determinado. Así, cada orden válido corresponde a una disposición de tres símbolos de la primera columna, tres de la segunda y dos de la tercera. El número de tales disposiciones es $\frac{8!}{3!\,3!\,2!}=560.$

Once the chosen column is known at each shot, the target within that column is forced. Thus every valid order corresponds to an arrangement of three symbols from the first column, three from the second, and two from the third. The number of such arrangements is $\frac{8!}{3!\,3!\,2!}=560.$

9.

Se lanza una moneda equilibrada $10$ veces. Sea $\frac{i}{j},$ en términos mínimos, la probabilidad de que nunca aparezcan caras en lanzamientos consecutivos. Halla $i+j.$

A fair coin is to be tossed $10$ times. Let $\frac{i}{j},$ in lowest terms, be the probability that heads never occur on consecutive tosses. Find $i+j.$

Respuesta

Respuesta: 73

Conceptos:conteo recursivo Fibonacci probabilidad básica

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Cuenta las secuencias válidas de $n$ lanzamientos según terminen en cruz o en cara

Count valid length- $n$ toss strings according to whether they end in tails or heads

Pista grande:

La recurrencia resultante es similar a la de Fibonacci, con valores iniciales $2$ y $3$

The resulting recurrence is Fibonacci-like, with initial counts $2$ and $3$

Solución:

Sea $u_n$ el número de secuencias de $n$ lanzamientos sin caras consecutivas. Una secuencia válida que termina en cruz se obtiene añadiendo $\mathrm{T}$ a cualquier secuencia válida de longitud $(n-1)$ , mientras que una que termina en cara se obtiene añadiendo $\mathrm{TH}$ a cualquier secuencia válida de longitud $(n-2)$ . Por tanto, $u_n=u_{n-1}+u_{n-2},$ con $u_1=2$ y $u_2=3.$ Esto da $u_{10}=144.$ La probabilidad es $\frac{144}{2^{10}}=\frac{9}{64},$ así que $i+j=9+64=73.$

Let $u_n$ be the number of length- $n$ toss strings with no consecutive heads. A valid string ending in tails is obtained by appending $\mathrm{T}$ to any valid length- $(n-1)$ string, while one ending in heads is obtained by appending $\mathrm{TH}$ to any valid length- $(n-2)$ string. Hence $u_n=u_{n-1}+u_{n-2},$ with $u_1=2$ and $u_2=3.$ This gives $u_{10}=144.$ The probability is $\frac{144}{2^{10}}=\frac{9}{64},$ so $i+j=9+64=73.$

10.

Los conjuntos $A=\{z:z^{18}=1\}$ y $B=\{w:w^{48}=1\}$ son conjuntos de raíces complejas de la unidad. El conjunto $C=\{zw:z\in A,\ w\in B\}$ también es un conjunto de raíces complejas de la unidad. ¿Cuántos elementos distintos hay en $C$ ?

The sets $A=\{z:z^{18}=1\}$ and $B=\{w:w^{48}=1\}$ are both sets of complex roots of unity. The set $C=\{zw:z\in A,\ w\in B\}$ is also a set of complex roots of unity. How many distinct elements are in $C?$

Respuesta

Respuesta: 144

Conceptos:raíces de la unidad mínimo común múltiplo número complejo

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Escribe las raíces como exponenciales cuyos argumentos sean múltiplos de $\frac{2\pi}{18}$ y $\frac{2\pi}{48}$

Write the roots as exponentials whose arguments are multiples of $\frac{2\pi}{18}$ and $\frac{2\pi}{48}$

Pista grande:

Las sumas de esos argumentos generan todos los múltiplos de $\frac{2\pi}{\operatorname{lcm}(18,48)}$

The sums of those arguments generate all multiples of $\frac{2\pi}{\operatorname{lcm}(18,48)}$

Solución:

Los argumentos de los productos de $C$ son $2\pi\left(\frac a{18}+\frac b{48}\right)=\frac{2\pi(8a+3b)}{144}.$ Como $\gcd(8,3)=1,$ los residuos $8a+3b$ generan todos los residuos módulo $144.$ Así, $C$ es precisamente el conjunto de las raíces de orden $144$ de la unidad. De manera equivalente, su orden es $\operatorname{lcm}(18,48)=144.$

The arguments of products in $C$ are $2\pi\left(\frac a{18}+\frac b{48}\right)=\frac{2\pi(8a+3b)}{144}.$ Since $\gcd(8,3)=1,$ the residues $8a+3b$ generate every residue modulo $144.$ Thus $C$ is precisely the set of $144$ th roots of unity. Equivalently, its order is $\operatorname{lcm}(18,48)=144.$

11.

Alguien observó que $6!=8\cdot9\cdot10.$ Halla el mayor entero positivo $n$ para el cual $n!$ puede expresarse como el producto de $n-3$ enteros positivos consecutivos.

Someone observed that $6!=8\cdot9\cdot10.$ Find the largest positive integer $n$ for which $n!$ can be expressed as the product of $n-3$ consecutive positive integers.

Respuesta

Respuesta: 23

Conceptos:factorial acotación a casos límite desigualdad

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Compara $n!$ con los productos de $n-3$ enteros consecutivos que comienzan en $4$ y en $5$

Compare $n!$ with products of $n-3$ consecutive integers beginning at $4$ and at $5$

Pista grande:

El producto que comienza en $5$ es igual a $\frac{(n+1)!}{4!}$

The product beginning at $5$ equals $\frac{(n+1)!}{4!}$

Solución:

Los $n-3$ enteros consecutivos que comienzan en $4$ tienen producto $4\cdot5\cdots n=\frac{n!}{6},$ mientras que los que comienzan en $5$ tienen producto $\begin{aligned}5\cdot6\cdots(n+1)&=\frac{(n+1)!}{24}\\&=\frac{n+1}{24}n!.\end{aligned}$ Para $n=23,$ el segundo producto es igual a $n!,$ así que $23$ funciona. Para todo $n\geq24,$ el producto que comienza en $4$ es menor que $n!,$ el que comienza en $5$ es mayor que $n!,$ y el producto aumenta estrictamente con su término inicial. Por consiguiente, ningún $n\geq24$ funciona y el mayor valor posible es $23.$

The $n-3$ consecutive integers beginning at $4$ have product $4\cdot5\cdots n=\frac{n!}{6},$ while those beginning at $5$ have product $\begin{aligned}5\cdot6\cdots(n+1)&=\frac{(n+1)!}{24}\\&=\frac{n+1}{24}n!.\end{aligned}$ For $n=23,$ the latter product equals $n!,$ so $23$ works. For every $n\geq24,$ the product beginning at $4$ is below $n!,$ the product beginning at $5$ is above $n!,$ and the product strictly increases with its initial term. Hence no $n\geq24$ works, and the largest possible value is $23.$

12.

Un polígono regular de $12$ lados está inscrito en una circunferencia de radio $12.$ La suma de las longitudes de todos los lados y diagonales del polígono de $12$ lados puede escribirse en la forma $a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6,$ donde $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son enteros positivos. Halla $a+b+c+d.$

A regular $12$ -gon is inscribed in a circle of radius $12.$ The sum of the lengths of all sides and diagonals of the $12$ -gon can be written in the form $a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6,$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive integers. Find $a+b+c+d.$

Respuesta

Respuesta: 720

Conceptos:cuerda triángulo rectángulo especial sumatoria

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Agrupa las cuerdas según el número de pasos entre vértices $k,$ donde $k$ es $1,$ $2,$ $\ldots,$ o $6$

Group the chords by the number of vertex steps $k,$ where $k$ is $1,$ $2,$ $\ldots,$ or $6$

Pista grande:

Para $k\lt6$ hay $12$ cuerdas de longitud $24\sin(\frac{k\pi}{12}),$ mientras que hay $6$ diámetros

For $k\lt6$ there are $12$ chords of length $24\sin(\frac{k\pi}{12}),$ while there are $6$ diameters

Solución:

Para $k$ igual a $1,$ $2,$ $\ldots,$ y $5,$ hay $12$ cuerdas de longitud $24\sin(\frac{k\pi}{12}),$ y hay $6$ diámetros de longitud $24.$ Las cinco longitudes de cuerda son $\begin{gathered}6(\sqrt6-\sqrt2),\quad12,\quad12\sqrt2,\\12\sqrt3,\quad6(\sqrt6+\sqrt2).\end{gathered}$ Su suma $U$ es $\begin{aligned}U&=12+12\sqrt2\\&\quad+12\sqrt3+12\sqrt6.\end{aligned}$ Por lo tanto, el total es $\begin{aligned}12U+6(24)&=288+144\sqrt2\\&\quad+144\sqrt3\\&\quad+144\sqrt6.\end{aligned}$ Así, $a=288$ y $b=c=d=144,$ por lo que $a+b+c+d=720.$

For $k$ equal to $1,$ $2,$ $\ldots,$ and $5,$ there are $12$ chords of length $24\sin(\frac{k\pi}{12}),$ and there are $6$ diameters of length $24.$ The five chord lengths are $\begin{gathered}6(\sqrt6-\sqrt2),\quad12,\quad12\sqrt2,\\12\sqrt3,\quad6(\sqrt6+\sqrt2).\end{gathered}$ Their sum $U$ is $\begin{aligned}U&=12+12\sqrt2\\&\quad+12\sqrt3+12\sqrt6.\end{aligned}$ Therefore the total is $\begin{aligned}12U+6(24)&=288+144\sqrt2\\&\quad+144\sqrt3\\&\quad+144\sqrt6.\end{aligned}$ Hence $a=288$ and $b=c=d=144,$ so $a+b+c+d=720.$

13.

Sea $T$ el conjunto de potencias $9^k,$ donde $k$ es un entero con $0\leq k\leq4000.$ Dado que $9^{4000}$ tiene $3817$ dígitos y que su primer dígito (el de más a la izquierda) es $9,$ ¿cuántos elementos de $T$ tienen $9$ como primer dígito?

Let $T$ be the set of powers $9^k,$ where $k$ is an integer with $0\leq k\leq4000.$ Given that $9^{4000}$ has $3817$ digits and that its first (leftmost) digit is $9,$ how many elements of $T$ have $9$ as their leftmost digit?

Respuesta

Respuesta: 184

Conceptos:dígitos exponente invariante

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Compara el número de dígitos de $9^k$ con el de $9^{k-1}$

Compare the number of digits of $9^k$ with that of $9^{k-1}$

Pista grande:

Multiplicar por $9$ produce un primer dígito $9$ exactamente cuando no aumenta el número de dígitos

A multiplication by $9$ produces a leading $9$ exactly when the digit count does not increase

Solución:

Para $k\geq1,$ el número $9^k$ comienza con $9$ exactamente cuando tiene el mismo número de dígitos que $9^{k-1}.$ En efecto, si $9^{k-1}$ tiene $d$ dígitos y al multiplicarlo por $9$ no aparece un nuevo dígito, entonces $9^k\geq9\cdot10^{d-1},$ de modo que su primer dígito es $9.$ Si aparece un nuevo dígito, entonces $9^k\lt9\cdot10^d,$ por lo que su primer dígito es a lo sumo $8.$

Comenzando con el número de un dígito $9^0,$ el número de dígitos llega a $3817$ después de $4000$ multiplicaciones. Por lo tanto, aumenta en $3816$ pasos y permanece sin cambios en $4000-3816=184$ pasos. Como $9^0=1$ no comienza con $9,$ exactamente $184$ elementos de $T$ sí lo hacen.

For $k\geq1,$ the number $9^k$ begins with $9$ exactly when it has the same number of digits as $9^{k-1}.$ Indeed, if $9^{k-1}$ has $d$ digits and multiplication by $9$ creates no new digit, then $9^k\geq9\cdot10^{d-1},$ so its leading digit is $9.$ If multiplication does create a new digit, then $9^k\lt9\cdot10^d,$ so its leading digit is at most $8.$

Starting from the one-digit number $9^0,$ the digit count reaches $3817$ after $4000$ multiplications. Thus it increases on $3816$ steps and stays unchanged on $4000-3816=184$ steps. Since $9^0=1$ does not begin with $9,$ exactly $184$ elements of $T$ do.

14.

El rectángulo $ABCD$ que aparece abajo tiene dimensiones $AB=12\sqrt3$ y $BC=13\sqrt3.$ Las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $P.$ Si se recorta y retira el triángulo $ABP$ , se unen las aristas $AP$ y $BP$ , y luego se pliega la figura por los segmentos $CP$ y $DP,$ se obtiene una pirámide triangular cuyas cuatro caras son triángulos isósceles. Halla el volumen de esta pirámide.

The rectangle $ABCD$ below has dimensions $AB=12\sqrt3$ and $BC=13\sqrt3.$ Diagonals $AC$ and $BD$ intersect at $P.$ If triangle $ABP$ is cut out and removed, edges $AP$ and $BP$ are joined, and the figure is then creased along segments $CP$ and $DP,$ we obtain a triangular pyramid, all four of whose faces are isosceles triangles. Find the volume of this pyramid.

Respuesta

Respuesta: 594

Conceptos:pirámide Geometría 3D geometría analítica

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Después de unir $AP$ y $BP$ , los vértices $A$ y $B$ se convierten en uno solo; determina las seis longitudes de las aristas del tetraedro

After $AP$ and $BP$ are joined, vertices $A$ and $B$ become one vertex; determine all six edge lengths of the tetrahedron

Pista grande:

Coloca $C,$ $D,$ y el vértice unido en un plano de coordenadas; luego localiza $P$ usando sus distancias iguales a los demás vértices

Place $C,$ $D,$ and the joined vertex in one coordinate plane, then locate $P$ from its equal distances to the other vertices

Solución:

Después de plegar, $A$ y $B$ se convierten en un solo vértice $X.$ Cada semidiagonal del rectángulo tiene longitud $\frac{\sqrt{939}}{2}.$ Así, $XP=CP=DP=\frac{\sqrt{939}}2,$ mientras que $XC=XD=13\sqrt3$ y $CD=12\sqrt3.$

Coloca $\begin{aligned}C&=(-6\sqrt3,0,0),\\D&=(6\sqrt3,0,0),\end{aligned}$ y $X=(0,\sqrt{399},0).$ Estas coordenadas dan las longitudes requeridas desde $X$ hasta $C$ y $D.$ Como $P$ está a la misma distancia de $C$ y $D,$ escribe $P=(0,u,h).$ Al igualar $PC^2$ y $PX^2$ se obtiene $u=\frac{291}{2\sqrt{399}}.$ Luego, $PC^2=\frac{939}{4}$ da $h^2=\frac{507}{4}-u^2=\frac{9801}{133},$ de modo que $h=\frac{99}{\sqrt{133}}.$

El triángulo de la base $XCD$ tiene área $\frac12(12\sqrt3)(\sqrt{399})=18\sqrt{133}.$ Por lo tanto, el volumen de la pirámide es $\frac13(18\sqrt{133})\left(\frac{99}{\sqrt{133}}\right)=594.$

After folding, $A$ and $B$ become one vertex $X.$ Each half-diagonal of the rectangle has length $\frac{\sqrt{939}}{2}.$ Thus $XP=CP=DP=\frac{\sqrt{939}}2,$ while $XC=XD=13\sqrt3$ and $CD=12\sqrt3.$

Place $\begin{aligned}C&=(-6\sqrt3,0,0),\\D&=(6\sqrt3,0,0),\end{aligned}$ and $X=(0,\sqrt{399},0).$ These coordinates give the required lengths from $X$ to $C$ and $D.$ Because $P$ is equidistant from $C$ and $D,$ write $P=(0,u,h).$ Equating $PC^2$ and $PX^2$ gives $u=\frac{291}{2\sqrt{399}}.$ Then $PC^2=\frac{939}{4}$ yields $h^2=\frac{507}{4}-u^2=\frac{9801}{133},$ so $h=\frac{99}{\sqrt{133}}.$

The base triangle $XCD$ has area $\frac12(12\sqrt3)(\sqrt{399})=18\sqrt{133}.$ Therefore the pyramid’s volume is $\frac13(18\sqrt{133})\left(\frac{99}{\sqrt{133}}\right)=594.$

15.

Halla $ax^5+by^5$ si los números reales $a,$ $b,$ $x,$ y $y$ satisfacen las ecuaciones $\begin{aligned}ax+by&=3,\\ax^2+by^2&=7,\\ax^3+by^3&=16,\\ax^4+by^4&=42.\end{aligned}$

Find $ax^5+by^5$ if the real numbers $a,$ $b,$ $x,$ and $y$ satisfy the equations $\begin{aligned}ax+by&=3,\\ax^2+by^2&=7,\\ax^3+by^3&=16,\\ax^4+by^4&=42.\end{aligned}$

Respuesta

Respuesta: 20

Conceptos:recursión sistema de ecuaciones simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Sea $S_k=ax^k+by^k$ y deriva una recurrencia usando $x+y$ y $xy$

Let $S_k=ax^k+by^k$ and derive a recurrence using $x+y$ and $xy$

Pista grande:

Usa $S_3$ y $S_4$ para hallar los dos coeficientes de la recurrencia antes de calcular $S_5$

Use $S_3$ and $S_4$ to solve for the two recurrence coefficients before computing $S_5$

Solución:

Sean $S_k=ax^k+by^k,$ $p=x+y,$ y $q=xy.$ Como $x$ y $y$ satisfacen $t^2=pt-q,$ $S_{k+2}=pS_{k+1}-qS_k.$ Al usar $S_1=3,$ $S_2=7,$ $S_3=16,$ y $S_4=42$ se obtiene $\begin{aligned}7p-3q&=16,\\16p-7q&=42.\end{aligned}$ Al resolver, $p=-14$ y $q=-38.$ Por lo tanto, $\begin{aligned}S_5&=pS_4-qS_3\\&=-14(42)+38(16)\\&=20.\end{aligned}$

Let $S_k=ax^k+by^k,$ $p=x+y,$ and $q=xy.$ Since $x$ and $y$ each satisfy $t^2=pt-q,$ $S_{k+2}=pS_{k+1}-qS_k.$ Using $S_1=3,$ $S_2=7,$ $S_3=16,$ and $S_4=42$ gives $\begin{aligned}7p-3q&=16,\\16p-7q&=42.\end{aligned}$ Solving yields $p=-14$ and $q=-38.$ Therefore $\begin{aligned}S_5&=pS_4-qS_3\\&=-14(42)+38(16)\\&=20.\end{aligned}$

Problemas del 1990 AIME

Respuesta: 528

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 828

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: 117

Nivel de dificultad: 2040

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Respuesta: 13

Nivel de dificultad: 1830

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Respuesta: 432

Nivel de dificultad: 2100

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Respuesta: 840

Nivel de dificultad: 1830

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Respuesta: 89

Nivel de dificultad: 2100

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Solución:

Respuesta: 560

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: 73

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: 144

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: 23

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: 720

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 184

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 594

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 20

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución: