Question

El rectángulo $ABCD$ que aparece abajo tiene dimensiones $AB=12\sqrt3$ y $BC=13\sqrt3.$ Las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $P.$ Si se recorta y retira el triángulo $ABP$ , se unen las aristas $AP$ y $BP$ , y luego se pliega la figura por los segmentos $CP$ y $DP,$ se obtiene una pirámide triangular cuyas cuatro caras son triángulos isósceles. Halla el volumen de esta pirámide.

The rectangle $ABCD$ below has dimensions $AB=12\sqrt3$ and $BC=13\sqrt3.$ Diagonals $AC$ and $BD$ intersect at $P.$ If triangle $ABP$ is cut out and removed, edges $AP$ and $BP$ are joined, and the figure is then creased along segments $CP$ and $DP,$ we obtain a triangular pyramid, all four of whose faces are isosceles triangles. Find the volume of this pyramid.

Respuesta

Respuesta: 594

Conceptos:pirámide Geometría 3D geometría analítica

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Después de unir $AP$ y $BP$ , los vértices $A$ y $B$ se convierten en uno solo; determina las seis longitudes de las aristas del tetraedro

After $AP$ and $BP$ are joined, vertices $A$ and $B$ become one vertex; determine all six edge lengths of the tetrahedron

Pista grande:

Coloca $C,$ $D,$ y el vértice unido en un plano de coordenadas; luego localiza $P$ usando sus distancias iguales a los demás vértices

Place $C,$ $D,$ and the joined vertex in one coordinate plane, then locate $P$ from its equal distances to the other vertices

Solución:

Después de plegar, $A$ y $B$ se convierten en un solo vértice $X.$ Cada semidiagonal del rectángulo tiene longitud $\frac{\sqrt{939}}{2}.$ Así, $XP=CP=DP=\frac{\sqrt{939}}2,$ mientras que $XC=XD=13\sqrt3$ y $CD=12\sqrt3.$

Coloca $\begin{aligned}C&=(-6\sqrt3,0,0),\\D&=(6\sqrt3,0,0),\end{aligned}$ y $X=(0,\sqrt{399},0).$ Estas coordenadas dan las longitudes requeridas desde $X$ hasta $C$ y $D.$ Como $P$ está a la misma distancia de $C$ y $D,$ escribe $P=(0,u,h).$ Al igualar $PC^2$ y $PX^2$ se obtiene $u=\frac{291}{2\sqrt{399}}.$ Luego, $PC^2=\frac{939}{4}$ da $h^2=\frac{507}{4}-u^2=\frac{9801}{133},$ de modo que $h=\frac{99}{\sqrt{133}}.$

El triángulo de la base $XCD$ tiene área $\frac12(12\sqrt3)(\sqrt{399})=18\sqrt{133}.$ Por lo tanto, el volumen de la pirámide es $\frac13(18\sqrt{133})\left(\frac{99}{\sqrt{133}}\right)=594.$

After folding, $A$ and $B$ become one vertex $X.$ Each half-diagonal of the rectangle has length $\frac{\sqrt{939}}{2}.$ Thus $XP=CP=DP=\frac{\sqrt{939}}2,$ while $XC=XD=13\sqrt3$ and $CD=12\sqrt3.$

Place $\begin{aligned}C&=(-6\sqrt3,0,0),\\D&=(6\sqrt3,0,0),\end{aligned}$ and $X=(0,\sqrt{399},0).$ These coordinates give the required lengths from $X$ to $C$ and $D.$ Because $P$ is equidistant from $C$ and $D,$ write $P=(0,u,h).$ Equating $PC^2$ and $PX^2$ gives $u=\frac{291}{2\sqrt{399}}.$ Then $PC^2=\frac{939}{4}$ yields $h^2=\frac{507}{4}-u^2=\frac{9801}{133},$ so $h=\frac{99}{\sqrt{133}}.$

The base triangle $XCD$ has area $\frac12(12\sqrt3)(\sqrt{399})=18\sqrt{133}.$ Therefore the pyramid’s volume is $\frac13(18\sqrt{133})\left(\frac{99}{\sqrt{133}}\right)=594.$

1990 AIME Problema 14

Respuesta: 594

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años