Question

Un hexágono está inscrito en un círculo. Cinco de sus lados tienen longitud $81$ , y el sexto, denotado por $\overline{AB},$ tiene longitud $31.$ Halla la suma de las longitudes de las tres diagonales que se pueden trazar desde $A.$

A hexagon is inscribed in a circle. Five of the sides have length $81$ and the sixth, denoted by $\overline{AB},$ has length $31.$ Find the sum of the lengths of the three diagonals that can be drawn from $A.$

Respuesta

Respuesta: 384

Conceptos:cuerda identidad trigonométrica trigonometría

Nivel de dificultad: 2710

Pista pequeña:

Sea $2u$ el ángulo central subtendido por cada lado de longitud $81$ , y sea $t=2\cos u$

Let $2u$ be the central angle subtended by each side of length $81$ , and set $t=2\cos u$

Pista grande:

Expresa $\frac{\sin(5u)}{\sin u}$ y las tres razones de las diagonales en términos de $t$

Express $\frac{\sin(5u)}{\sin u}$ and the three diagonal ratios in terms of $t$

Solución:

Sea $2u$ el ángulo central subtendido por cada lado de longitud $81$ , y sea $t=2\cos u.$ El arco restante tiene semiángulo $\pi-5u,$ por lo que la razón entre las cuerdas da $\begin{aligned}\frac{31}{81}&=\frac{\sin5u}{\sin u}\\&=t^4-3t^2+1.\end{aligned}$ Esto produce $t^2=\frac{25}{9}$ o $\frac{2}{9}.$ Como $5u<\pi,$ se tiene $t>2\cos36^\circ,$ así que $t=\frac{5}{3}.$

Las tres diagonales desde $A$ subtienen los mismos ángulos menores que $2u,$ $3u,$ y $4u.$ Con respecto a un lado de longitud $81$ , sus razones de longitud son $\begin{aligned}\frac{\sin2u}{\sin u}&=t,\\\frac{\sin3u}{\sin u}&=t^2-1,\\\frac{\sin4u}{\sin u}&=t^3-2t.\end{aligned}$ Por consiguiente, su suma es $\begin{aligned}81(t^3+t^2-t-1)&=81\left(\frac{128}{27}\right)\\&=384.\end{aligned}$

Let $2u$ be the central angle subtended by each $81$ -side, and put $t=2\cos u.$ The remaining arc has half-angle $\pi-5u,$ so the chord ratio gives $\begin{aligned}\frac{31}{81}&=\frac{\sin5u}{\sin u}\\&=t^4-3t^2+1.\end{aligned}$ This yields $t^2=\frac{25}{9}$ or $\frac{2}{9}.$ Because $5u<\pi,$ we have $t>2\cos36^\circ,$ so $t=\frac{5}{3}.$

The three diagonals from $A$ subtend the same minor angles as $2u,$ $3u,$ and $4u.$ Relative to an $81$ -side, their length ratios are $\begin{aligned}\frac{\sin2u}{\sin u}&=t,\\\frac{\sin3u}{\sin u}&=t^2-1,\\\frac{\sin4u}{\sin u}&=t^3-2t.\end{aligned}$ Their sum is therefore $\begin{aligned}81(t^3+t^2-t-1)&=81\left(\frac{128}{27}\right)\\&=384.\end{aligned}$

1991 AIME Problema 14

Respuesta: 384

Nivel de dificultad: 2710

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años