Question

En el triángulo $ABC,$ los puntos $A',$ $B'$ y $C'$ están sobre los lados $BC,$ $AC$ y $AB,$ respectivamente. Dado que $AA',$ $BB'$ y $CC'$ concurren en el punto $O,$ y que $\frac{AO}{OA'}+\frac{BO}{OB'}+\frac{CO}{OC'}=92,$ halla $\frac{AO}{OA'}\cdot\frac{BO}{OB'}\cdot\frac{CO}{OC'}.$

In triangle $ABC,$ $A',$ $B',$ and $C'$ are on the sides $BC,$ $AC,$ and $AB,$ respectively. Given that $AA',$ $BB',$ and $CC'$ are concurrent at the point $O,$ and that $\frac{AO}{OA'}+\frac{BO}{OB'}+\frac{CO}{OC'}=92,$ find $\frac{AO}{OA'}\cdot\frac{BO}{OB'}\cdot\frac{CO}{OC'}.$

Respuesta

Respuesta: 94

Conceptos:puntos de masa razón y proporción manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Sean $(\alpha,\beta,\gamma)$ las coordenadas baricéntricas normalizadas de $O$

Let $(\alpha,\beta,\gamma)$ be normalized barycentric coordinates of $O$

Pista grande:

Escribe las tres razones como $\frac{1-\alpha}{\alpha}$ , $\frac{1-\beta}{\beta}$ y $\frac{1-\gamma}{\gamma}$

Write the three ratios as $\frac{1-\alpha}{\alpha}$ , $\frac{1-\beta}{\beta}$ , and $\frac{1-\gamma}{\gamma}$

Solución:

Sean $\alpha+\beta+\gamma=1$ las coordenadas baricéntricas de $O.$ Entonces $\begin{aligned}x=\frac{AO}{OA'}&=\frac{\beta+\gamma}{\alpha},\\y=\frac{BO}{OB'}&=\frac{\gamma+\alpha}{\beta},\\z=\frac{CO}{OC'}&=\frac{\alpha+\beta}{\gamma}.\end{aligned}$ Al desarrollar ambos lados y usar $\alpha+\beta+\gamma=1$ , se obtiene la identidad $xyz=x+y+z+2.$ Como $x+y+z=92,$ el producto pedido es $94.$

Let $\alpha+\beta+\gamma=1$ be the barycentric coordinates of $O.$ Then $\begin{aligned}x=\frac{AO}{OA'}&=\frac{\beta+\gamma}{\alpha},\\y=\frac{BO}{OB'}&=\frac{\gamma+\alpha}{\beta},\\z=\frac{CO}{OC'}&=\frac{\alpha+\beta}{\gamma}.\end{aligned}$ Expanding both sides using $\alpha+\beta+\gamma=1$ gives the standard identity $xyz=x+y+z+2.$ Since $x+y+z=92,$ the requested product is $94.$

1992 AIME Problema 14

Respuesta: 94

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años