Question

Se dice que un entero positivo $n$ es una cola factorial si existe algún entero positivo $m$ tal que la representación decimal de $m!$ termina exactamente en $n$ ceros. ¿Cuántos enteros positivos menores que $1992$ no son colas factoriales?

Define a positive integer $n$ to be a factorial tail if there is some positive integer $m$ such that the decimal representation of $m!$ ends with exactly $n$ zeroes. How many positive integers less than $1992$ are not factorial tails?

Respuesta

Respuesta: 396

Conceptos:ceros finales factorial conteo complementario

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Sea $f(m)=\sum_{j\geq1}\lfloor \frac{m}{5^j}\rfloor$ , el número de ceros finales de $m!$

Let $f(m)=\sum_{j\geq1}\lfloor \frac{m}{5^j}\rfloor$ , the number of trailing zeroes in $m!$

Pista grande:

Cada valor positivo que toma $f$ aparece por primera vez en algún múltiplo $5k$ , donde $f(5k)=k+f(k)$

Every positive value attained by $f$ first appears at a multiple $5k$ , where $f(5k)=k+f(k)$

Solución:

El número de ceros finales es $f(m)=\sum_{j\geq1}\lfloor \frac{m}{5^j}\rfloor.$ Sus distintos valores positivos aparecen en los múltiplos $5k,$ y $f(5k)=k+f(k)$ es estrictamente creciente con $k.$ Ahora, $\begin{aligned}f(1595)&=319+63\\&\quad+12+2=396,\end{aligned}$ así que $f(7975)=1595+396=1991.$ Para $k=1596,$ el mismo cálculo da $f(k)=396,$ y por eso $f(5k)=1992.$ Por lo tanto, exactamente $1595$ valores positivos hasta $1991$ son colas factoriales. De los $1991$ enteros positivos menores que $1992,$ la cantidad omitida es $1991-1595=396.$

The number of trailing zeroes is $f(m)=\sum_{j\geq1}\lfloor \frac{m}{5^j}\rfloor.$ Its positive distinct values occur at the multiples $5k,$ and $f(5k)=k+f(k)$ is strictly increasing with $k.$ Now $\begin{aligned}f(1595)&=319+63\\&\quad+12+2=396,\end{aligned}$ so $f(7975)=1595+396=1991.$ For $k=1596,$ the same calculation gives $f(k)=396,$ hence $f(5k)=1992.$ Therefore exactly $1595$ positive values through $1991$ are factorial tails. Of the $1991$ positive integers below $1992,$ the number omitted is $1991-1595=396.$

1992 AIME Problema 15

Respuesta: 396

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años