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1984 AIME Problema 15

Intenta el Problema 15 del 1984 AIME a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1984 AIME, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

Determina w2+x2+y2+z2w^2+x^2+y^2+z^2 si x222−1+y222−32+z222−52+w222−72=1,x242−1+y242−32+z242−52+w242−72=1,x262−1+y262−32+z262−52+w262−72=1,x282−1+y282−32+z282−52+w282−72=1. \begin{gathered} \frac{x^2}{2^2-1}+\frac{y^2}{2^2-3^2}\\[-2pt] {}+\frac{z^2}{2^2-5^2}+\frac{w^2}{2^2-7^2}=1,\\[2pt] \frac{x^2}{4^2-1}+\frac{y^2}{4^2-3^2}\\[-2pt] {}+\frac{z^2}{4^2-5^2}+\frac{w^2}{4^2-7^2}=1,\\[2pt] \frac{x^2}{6^2-1}+\frac{y^2}{6^2-3^2}\\[-2pt] {}+\frac{z^2}{6^2-5^2}+\frac{w^2}{6^2-7^2}=1,\\[2pt] \frac{x^2}{8^2-1}+\frac{y^2}{8^2-3^2}\\[-2pt] {}+\frac{z^2}{8^2-5^2}+\frac{w^2}{8^2-7^2}=1. \end{gathered}

Determine w2+x2+y2+z2w^2+x^2+y^2+z^2 if x222−1+y222−32+z222−52+w222−72=1,x242−1+y242−32+z242−52+w242−72=1,x262−1+y262−32+z262−52+w262−72=1,x282−1+y282−32+z282−52+w282−72=1. \begin{gathered} \frac{x^2}{2^2-1}+\frac{y^2}{2^2-3^2}\\[-2pt] {}+\frac{z^2}{2^2-5^2}+\frac{w^2}{2^2-7^2}=1,\\[2pt] \frac{x^2}{4^2-1}+\frac{y^2}{4^2-3^2}\\[-2pt] {}+\frac{z^2}{4^2-5^2}+\frac{w^2}{4^2-7^2}=1,\\[2pt] \frac{x^2}{6^2-1}+\frac{y^2}{6^2-3^2}\\[-2pt] {}+\frac{z^2}{6^2-5^2}+\frac{w^2}{6^2-7^2}=1,\\[2pt] \frac{x^2}{8^2-1}+\frac{y^2}{8^2-3^2}\\[-2pt] {}+\frac{z^2}{8^2-5^2}+\frac{w^2}{8^2-7^2}=1. \end{gathered}

Respuesta: 36
Conceptos:ecuación racionalpolinomiomanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 3060
Pista pequeña:

Considera los cuatro miembros izquierdos como valores de una misma función racional de TT

Regard the four left sides as values of one rational function in TT

Pista grande:

Compara el coeficiente de 1T\frac{1}{T} cuando TT tiende al infinito

Compare the coefficient of 1T\frac{1}{T} as TT tends to infinity

Solución:

Define R(T)=x2T−1+y2T−9+z2T−25+w2T−49−1. \begin{aligned} R(T)&=\frac{x^2}{T-1}+\frac{y^2}{T-9}\\ &\quad{}+\frac{z^2}{T-25}+\frac{w^2}{T-49}\\ &\quad{}-1. \end{aligned} Sea N(T)=(T−4)(T−16)⋅(T−36)(T−64),D(T)=(T−1)(T−9)⋅(T−25)(T−49). \begin{aligned} N(T)&=(T-4)(T-16)\\ &\quad{}\cdot(T-36)(T-64),\\ D(T)&=(T-1)(T-9)\\ &\quad{}\cdot(T-25)(T-49). \end{aligned} Al usar el denominador común D(T),D(T), el numerador de R(T)R(T) tiene coeficiente principal −1.-1. Las cuatro ecuaciones dicen que sus ceros son 4,4, 16,16, 36,36, y 64.64. Por lo tanto, R(T)=−N(T)D(T).R(T)=-\frac{N(T)}{D(T)}.

Sea S=w2+x2+y2+z2.S=w^2+x^2+y^2+z^2. Cuando TT tiende al infinito, la expresión que define la función da R(T)=−1+ST+O(T−2). R(T)=-1+\frac{S}{T}+O(T^{-2}). Por otro lado, la suma de las cuatro raíces del numerador es 120,120, mientras que la suma de las cuatro raíces del denominador es 84,84, así que la expresión factorizada da R(T)=−1+120−84T+O(T−2). \begin{aligned} R(T)&=-1+\frac{120-84}{T}\\ &\quad{}+O(T^{-2}). \end{aligned} Por consiguiente, w2+x2+y2+z2=36.w^2+x^2+y^2+z^2=36.

Define R(T)=x2T−1+y2T−9+z2T−25+w2T−49−1. \begin{aligned} R(T)&=\frac{x^2}{T-1}+\frac{y^2}{T-9}\\ &\quad{}+\frac{z^2}{T-25}+\frac{w^2}{T-49}\\ &\quad{}-1. \end{aligned} Put N(T)=(T−4)(T−16)⋅(T−36)(T−64),D(T)=(T−1)(T−9)⋅(T−25)(T−49). \begin{aligned} N(T)&=(T-4)(T-16)\\ &\quad{}\cdot(T-36)(T-64),\\ D(T)&=(T-1)(T-9)\\ &\quad{}\cdot(T-25)(T-49). \end{aligned} With common denominator D(T),D(T), the numerator of R(T)R(T) has leading coefficient −1.-1. The four equations say its zeros are 4,4, 16,16, 36,36, and 64.64. Therefore R(T)=−N(T)D(T).R(T)=-\frac{N(T)}{D(T)}.

Let S=w2+x2+y2+z2.S=w^2+x^2+y^2+z^2. As TT tends to infinity, the defining expression gives R(T)=−1+ST+O(T−2). R(T)=-1+\frac{S}{T}+O(T^{-2}). On the other hand, the sum of the four numerator roots is 120,120, while the sum of the four denominator roots is 84,84, so the factored expression gives R(T)=−1+120−84T+O(T−2). \begin{aligned} R(T)&=-1+\frac{120-84}{T}\\ &\quad{}+O(T^{-2}). \end{aligned} Hence w2+x2+y2+z2=36.w^2+x^2+y^2+z^2=36.

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Examen completo

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