Question

El punto $P$ está dentro del triángulo $ABC.$ Se trazan los segmentos $APD,$ $BPE,$ y $CPF$ , con $D$ sobre $BC,$ $E$ sobre $AC,$ y $F$ sobre $AB$ (véase la figura). Dado que $AP=6,$ $BP=9,$ $PD=6,$ $PE=3,$ y $CF=20,$ halla el área del triángulo $ABC.$

Point $P$ is inside triangle $ABC.$ Line segments $APD,$ $BPE,$ and $CPF$ are drawn with $D$ on $BC,$ $E$ on $AC,$ and $F$ on $AB$ (see the figure). Given that $AP=6,$ $BP=9,$ $PD=6,$ $PE=3,$ and $CF=20,$ find the area of triangle $ABC.$

Respuesta

Respuesta: 108

Conceptos:razón de áreas área del triángulo vector

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Usa las dos razones conocidas de las cevianas para hallar los pesos baricéntricos de $A$ y $B$ en $P$

Use the two known cevian ratios to find the barycentric weights of $A$ and $B$ at $P$

Pista grande:

Coloca $P$ en el origen; la relación vectorial resultante determina el ángulo entre $PA$ y $PB$

Place $P$ at the origin; the resulting vector relation determines the angle between $PA$ and $PB$

Solución:

Como $AP=PD,$ el peso baricéntrico de $A$ en $P$ es $\frac{1}{2}.$ Como $BP:PE=3:1,$ el peso de $B$ es $\frac{1}{4},$ así que el peso de $C$ también es $\frac{1}{4}.$ A lo largo de $CF,$ esto significa que $\frac{PF}{CF}=\frac{1}{4},$ de donde $PF=5$ y $CP=15.$

Coloca $P$ en el origen y denota los vectores de posición $A,$ $B,$ y $C$ con las mismas letras. La relación baricéntrica es $2A+B+C=0.$ Por lo tanto, $C=-2A-B.$ Usando $|A|=6,$ $|B|=9,$ y $|C|=15,$ $\begin{aligned}225&=|2A+B|^2\\&=4(36)+81+4A\mathbin{\cdot}B,\end{aligned}$ así que $A\mathbin{\cdot}B=0.$ Por ello, $PA\perp PB.$ Al desarrollar el producto vectorial se obtiene $(B-A)\mathbin{\times}(C-A)=4(A\mathbin{\times}B).$ En consecuencia, $\begin{aligned}{}[ABC]&=2|A\mathbin{\times}B|\\&=2(6)(9)=108.\end{aligned}$

Since $AP=PD,$ the barycentric weight of $A$ at $P$ is $\frac{1}{2}.$ Since $BP:PE=3:1,$ the weight of $B$ is $\frac{1}{4},$ so the weight of $C$ is also $\frac{1}{4}.$ Along $CF,$ this means $\frac{PF}{CF}=\frac{1}{4},$ hence $PF=5$ and $CP=15.$

Place $P$ at the origin and denote the position vectors $A,$ $B,$ and $C$ by the same letters. The barycentric relation is $2A+B+C=0.$ Thus $C=-2A-B.$ Using $|A|=6,$ $|B|=9,$ and $|C|=15,$ $\begin{aligned}225&=|2A+B|^2\\&=4(36)+81+4A\mathbin{\cdot}B,\end{aligned}$ so $A\mathbin{\cdot}B=0.$ Therefore $PA\perp PB.$ Expanding the cross product gives $(B-A)\mathbin{\times}(C-A)=4(A\mathbin{\times}B).$ Consequently, $\begin{aligned}{}[ABC]&=2|A\mathbin{\times}B|\\&=2(6)(9)=108.\end{aligned}$

1989 AIME Problema 15

Respuesta: 108

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años