Question

Para un entero positivo $n,$ define $S_n$ como el valor mínimo de la suma $\sum_{k=1}^n\sqrt{(2k-1)^2+a_k^2},$ donde $a_1,$ $a_2,$ $\ldots,$ $a_n$ son números reales positivos cuya suma es $17.$ Hay un único entero positivo $n$ para el cual $S_n$ también es entero. Halla este $n.$

For positive integer $n,$ define $S_n$ to be the minimum value of the sum $\sum_{k=1}^n\sqrt{(2k-1)^2+a_k^2},$ where $a_1,$ $a_2,$ $\ldots,$ $a_n$ are positive real numbers whose sum is $17.$ There is a unique positive integer $n$ for which $S_n$ is also an integer. Find this $n.$

Respuesta

Respuesta: 12

Conceptos:desigualdad triangular vector diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Interpreta cada radical como la longitud de un vector $(2k-1,a_k)$ y aplica la desigualdad triangular

Interpret each radical as the length of a vector $(2k-1,a_k)$ and apply the triangle inequality

Pista grande:

Después de hallar $S_n$ , factoriza la diferencia de cuadrados que resulta de exigir que sea entero

After finding $S_n$ , factor the difference of two squares that results from requiring it to be an integer

Solución:

Las sumas de las dos componentes son $\sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2$ y $\sum_{k=1}^na_k=17.$ Por lo tanto, la desigualdad triangular para vectores da $\begin{aligned}&\sum_{k=1}^n\sqrt{(2k-1)^2+a_k^2}\\&\quad\geq\sqrt{(n^2)^2+17^2}\\&\quad=\sqrt{n^4+289}.\end{aligned}$ La igualdad se alcanza tomando $a_k$ proporcional a $2k-1,$ por lo que $S_n=\sqrt{n^4+289}.$

Si este valor es el entero $m,$ entonces $(m-n^2)(m+n^2)=289=17^2.$ La pareja de factores $17,17$ da $n=0,$ mientras que la pareja $1,289$ da $m=145$ y $n^2=144.$ Así, el único $n$ positivo es $12.$

The two component sums are $\sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2$ and $\sum_{k=1}^na_k=17.$ Therefore the triangle inequality for vectors gives $\begin{aligned}&\sum_{k=1}^n\sqrt{(2k-1)^2+a_k^2}\\&\quad\geq\sqrt{(n^2)^2+17^2}\\&\quad=\sqrt{n^4+289}.\end{aligned}$ Equality is attainable by taking $a_k$ proportional to $2k-1,$ so $S_n=\sqrt{n^4+289}.$

If this is the integer $m,$ then $(m-n^2)(m+n^2)=289=17^2.$ The factor pair $17,17$ gives $n=0,$ while the pair $1,289$ gives $m=145$ and $n^2=144.$ Thus the unique positive $n$ is $12.$

1991 AIME Problema 15

Respuesta: 12

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años