Question

Sea $p$ la probabilidad de que, al lanzar repetidamente una moneda equilibrada, aparezca una racha de $5$ caras antes que una racha de $2$ cruces. Dado que $p$ puede escribirse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos, halla $m+n.$

Let $p$ be the probability that, in the process of repeatedly flipping a fair coin, one will encounter a run of $5$ heads before one encounters a run of $2$ tails. Given that $p$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m+n.$

Respuesta

Respuesta: 37

Conceptos:probabilidad recursiva simulación de procesos probabilidad básica

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Usa estados para $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ y $4$ caras consecutivas y otro estado para una sola cruz final

Use states for $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ and $4$ consecutive heads and one separate state for a single trailing tail

Pista grande:

Expresa la probabilidad de éxito de cada estado de racha de caras en términos del estado con una cruz final

Express every head-run state’s success probability in terms of the trailing-tail state

Solución:

Sea $q_i$ la probabilidad de éxito con $i$ caras consecutivas y sin una cruz final, y sea $t$ la probabilidad después de una cruz. Entonces $\begin{aligned}q_i&=\frac{q_{i+1}+t}{2}\quad(0\leq i<4),\\q_4&=\frac{1+t}{2},\\t&=\frac{q_1}{2}.\end{aligned}$ Al trabajar hacia atrás se obtiene $q_1=\frac{1+15t}{16}.$ Como $q_1=2t,$ resulta $t=\frac{1}{17}$ y $q_1=\frac{2}{17}.$ Por lo tanto, $p=q_0=\frac{q_1+t}{2}=\frac3{34},$ así que $m+n=3+34=37.$

Let $q_i$ be the success probability with $i$ consecutive heads and no trailing tail, and let $t$ be the probability after one tail. Then $\begin{aligned}q_i&=\frac{q_{i+1}+t}{2}\quad(0\leq i<4),\\q_4&=\frac{1+t}{2},\\t&=\frac{q_1}{2}.\end{aligned}$ Working backward gives $q_1=\frac{1+15t}{16}.$ Since $q_1=2t,$ we get $t=\frac{1}{17}$ and $q_1=\frac{2}{17}.$ Therefore $p=q_0=\frac{q_1+t}{2}=\frac3{34},$ so $m+n=3+34=37.$

1995 AIME Problema 15

Respuesta: 37

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años