Question

Dado un punto $P$ en una hoja triangular $ABC,$ considera los pliegues que se forman al doblar $A,$ $B,$ y $C$ sobre $P.$ Llamemos a $P$ punto de plegado de $\triangle ABC$ si estos pliegues, que son tres salvo cuando $P$ es uno de los vértices, no se cortan. Supón que $AB=36,$ $AC=72,$ y $\angle B=90^\circ.$ Entonces el área del conjunto de todos los puntos de plegado de $\triangle ABC$ puede escribirse como $q\pi-r\sqrt s,$ donde $q,$ $r,$ y $s$ son enteros positivos y $s$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuál es $q+r+s$ ?

Given a point $P$ on a triangular piece of paper $ABC,$ consider the creases that are formed in the paper when $A,$ $B,$ and $C$ are folded onto $P.$ Let us call $P$ a fold point of $\triangle ABC$ if these creases, which number three unless $P$ is one of the vertices, do not intersect. Suppose that $AB=36,$ $AC=72,$ and $\angle B=90^\circ.$ Then the area of the set of all fold points of $\triangle ABC$ can be written in the form $q\pi-r\sqrt s,$ where $q,$ $r,$ and $s$ are positive integers and $s$ is not divisible by the square of any prime. What is $q+r+s?$

Respuesta

Respuesta: 597

Conceptos:plegado de papel mediatriz descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Dos pliegues se cortan en el circuncentro del triángulo formado por $P$ y los dos vértices correspondientes

Two fold creases meet at the circumcenter of the triangle formed by $P$ and the corresponding two vertices

Pista grande:

El lugar geométrico de los puntos de plegado es la intersección de los discos con diámetros $AB$ y $BC$

The fold-point locus is the intersection of the disks with diameters $AB$ and $BC$

Solución:

Los pliegues correspondientes a dos vértices se cortan en el circuncentro del triángulo formado con $P.$ Esta intersección queda fuera del papel exactamente cuando el ángulo en $P$ es obtuso, de modo que el lugar de los puntos de plegado es la intersección de los tres discos de diámetros $AB,$ $BC,$ y $CA.$ El disco de diámetro $CA$ contiene todo el triángulo rectángulo, por lo que queda la intersección de los discos de diámetros $AB$ y $BC$ .

Aquí $BC=\sqrt{72^2-36^2}=36\sqrt3.$ Los dos radios relevantes son $18$ y $18\sqrt3,$ y su lente consta de segmentos circulares con ángulos centrales $120^\circ$ y $60^\circ.$ Su área es $\begin{aligned}&\left(\frac\pi3\cdot18^2\right.\\&\qquad\left.-\frac12\cdot18^2\sin120^\circ\right)\\&+\left(\frac\pi6(18\sqrt3)^2\right.\\&\qquad\left.-\frac12(18\sqrt3)^2\sin60^\circ\right)\\&=270\pi-324\sqrt3.\end{aligned}$ Por tanto, $q+r+s$ es igual a $270+324+3=597.$

The creases for two vertices meet at the circumcenter of the triangle formed with $P.$ This intersection lies off the paper exactly when the angle at $P$ is obtuse, so the fold-point locus is the intersection of the three diameter disks for $AB,$ $BC,$ and $CA.$ The $CA$ disk contains the entire right triangle, leaving the intersection of the $AB$ and $BC$ disks.

Here $BC=\sqrt{72^2-36^2}=36\sqrt3.$ The two relevant radii are $18$ and $18\sqrt3,$ and their lens consists of circular segments with central angles $120^\circ$ and $60^\circ.$ Its area is $\begin{aligned}&\left(\frac\pi3\cdot18^2\right.\\&\qquad\left.-\frac12\cdot18^2\sin120^\circ\right)\\&+\left(\frac\pi6(18\sqrt3)^2\right.\\&\qquad\left.-\frac12(18\sqrt3)^2\sin60^\circ\right)\\&=270\pi-324\sqrt3.\end{aligned}$ Thus $q+r+s$ equals $270+324+3=597.$

1994 AIME Problema 15

Respuesta: 597

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años