Question

Un rayo de luz incide en $\overline{BC}$ en el punto $C$ con ángulo de incidencia $\alpha=19.94^\circ$ y se refleja con el mismo ángulo, como se muestra. El rayo continúa su trayectoria y se refleja en los segmentos $\overline{AB}$ y $\overline{BC}$ según la regla de que el ángulo de incidencia es igual al de reflexión. Dado que $\beta=\frac{\alpha}{10}=1.994^\circ$ y $AB=BC,$ determina cuántas veces rebotará el rayo en los dos segmentos. Incluye en la cuenta la primera reflexión en $C.$

A beam of light strikes $\overline{BC}$ at point $C$ with angle of incidence $\alpha=19.94^\circ$ and reflects with an equal angle of reflection as shown. The light beam continues its path, reflecting off line segments $\overline{AB}$ and $\overline{BC}$ according to the rule: angle of incidence equals angle of reflection. Given that $\beta=\frac{\alpha}{10}=1.994^\circ$ and $AB=BC,$ determine the number of times the light beam will bounce off the two line segments. Include the first reflection at $C$ in your count.

Respuesta

Respuesta: 71

Conceptos:reflexión (geometría)persecución de ángulos funciones piso y techo

Nivel de dificultad: 2790

Pista pequeña:

Despliega cada reflexión reflejando la siguiente copia del ángulo formado por los dos segmentos en vez de reflejar el rayo

Unfold each reflection by reflecting the next copy of the two-segment angle instead of reflecting the beam

Pista grande:

Después de $k$ reflexiones posteriores a la primera, la semirrecta límite correspondiente ha girado $k\beta$

After $k$ reflections beyond the first one, the relevant boundary ray has turned through $k\beta$

Solución:

Despliega la trayectoria en cada rebote, de modo que el rayo se convierte en una recta que cruza copias reflejadas sucesivas del ángulo en $B.$ Después de $k$ reflexiones posteriores a la inicial en $C,$ la siguiente semirrecta límite forma un ángulo $k\beta$ con la original. Al usar $AB=BC,$ el cruce permanece sobre los segmentos finitos exactamente mientras $k\beta\leq180^\circ-2\alpha.$ Por lo tanto, $k\leq\frac{180-2(19.94)}{1.994}\approx70.27,$ así que hay $70$ reflexiones más. Al incluir la primera reflexión en $C$ , se obtienen $71.$

Unfold the path at each bounce, so the beam becomes one straight line crossing successive reflected copies of the angle at $B.$ After $k$ reflections beyond the initial reflection at $C,$ the next boundary ray makes angle $k\beta$ with the original one. Using $AB=BC,$ the crossing remains on the finite segments exactly while $k\beta\leq180^\circ-2\alpha.$ Therefore $k\leq\frac{180-2(19.94)}{1.994}\approx70.27,$ so there are $70$ further reflections. Including the first reflection at $C$ gives $71.$

1994 AIME Problema 14

Respuesta: 71

Nivel de dificultad: 2790

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años