Question

¿Cuál es el mayor entero par que no se puede escribir como suma de dos números compuestos impares?

What is the largest even integer that cannot be written as the sum of two odd composite numbers?

Respuesta

Respuesta: 38

Conceptos:primo aritmética modular argumento extremal

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Para cada entero par candidato, enumera los compuestos impares que no superan la mitad del candidato

Test candidate even integers by listing the odd composites no greater than half the candidate

Pista grande:

Para un entero par $N$ suficientemente grande, trabaja módulo $6$ e intenta restar $9,$ $25,$ o $35$

For sufficiently large even $N,$ work modulo $6$ and try subtracting $9,$ $25,$ or $35$

Solución:

En una representación de $38,$ el menor de los dos compuestos impares sería a lo sumo $19.$ Las únicas posibilidades son $9$ y $15,$ cuyos complementos, $29$ y $23,$ son primos. Por lo tanto, $38$ no se puede representar.

Ahora sea $N>38$ par. Si $N\equiv0\pmod6,$ escribe $N=9+(N-9).$ Si $N\equiv2\pmod6,$ escribe $N=35+(N-35).$ Si $N\equiv4\pmod6,$ escribe $N=25+(N-25).$ En cada caso, el segundo sumando es un múltiplo impar de $3$ mayor que $3,$ y por tanto es compuesto; el primer sumando fijo también es impar y compuesto. Así, todo entero par mayor que $38$ se puede representar, de modo que la mayor excepción es $38.$

In a representation of $38,$ the smaller odd composite would be at most $19.$ The only possibilities are $9$ and $15,$ whose complements $29$ and $23$ are prime. Thus $38$ is not representable.

Now let $N>38$ be even. If $N\equiv0\pmod6,$ write $N=9+(N-9).$ If $N\equiv2\pmod6,$ write $N=35+(N-35).$ If $N\equiv4\pmod6,$ write $N=25+(N-25).$ In each case the second summand is an odd multiple of $3$ greater than $3,$ hence is composite; the fixed first summand is also odd and composite. Therefore every even integer greater than $38$ is representable, so the largest exception is $38.$

1984 AIME Problema 14

Respuesta: 38

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años