Respuesta: 448

Pista pequeña:

Centra el rectángulo de $6$ por $8$ en el origen y parametriza dos vértices interiores consecutivos sobre los lados derecho y superior

Pista grande:

Usa la igualdad de las semidiagonales para relacionar las dos coordenadas libres y luego expresa el cuadrado del perímetro mediante la diagonal y el área

Solución:

Los vértices opuestos están en lados opuestos del rectángulo exterior, por lo que ambos rectángulos tienen el mismo centro. Bajo una pequeña rotación de ángulo $\delta,$ un punto de contacto del lado derecho en $(4,y)$ se desplaza hacia dentro solo si $y\delta\geq0,$ mientras que un punto de contacto del lado superior en $(u,3)$ se desplaza hacia dentro solo si $u\delta\leq0.$ Por tanto, los desplazamientos de un rectángulo suelto tienen signos opuestos; después de una reflexión, sus vértices consecutivos pueden escribirse como $(4,y),(-x,3),(-4,-y),(x,-3)$ con $x,y\geq0.$ La igualdad de las semidiagonales da $16+y^2=x^2+9,$ así que $x^2-y^2=7.$ Si sus lados tienen longitudes $a,b,$ entonces $$\begin{aligned}a^2+b^2&=4(16+y^2),\\ab&=24+2xy.\end{aligned}$$ Por lo tanto, su perímetro $Q=2(a+b)$ satisface $$\begin{aligned}Q^2&=4(a^2+b^2+2ab)\\&=448+16y(y+x)\geq448.\end{aligned}$$ La igualdad ocurre cuando $y=0,\ x=\sqrt7,$ lo que produce un rectángulo no alineado con los ejes y, por tanto, suelto. Así, el perímetro mínimo es $\sqrt{448}$ y $N=448.$