Question

Jenny y Kenny caminan en la misma dirección, Kenny a $3$ pies por segundo y Jenny a $1$ pie por segundo, por senderos paralelos separados $200$ pies. Un edificio circular alto de $100$ pies de diámetro está centrado a mitad de camino entre los senderos. En el instante en que el edificio bloquea por primera vez la línea de visión entre Jenny y Kenny, ellos están separados $200$ pies. Sea $t$ el tiempo, en segundos, que transcurre antes de que puedan volver a verse. Si $t$ se escribe como fracción en su mínima expresión, ¿cuál es la suma del numerador y el denominador?

Jenny and Kenny are walking in the same direction, Kenny at $3$ feet per second and Jenny at $1$ foot per second, on parallel paths that are $200$ feet apart. A tall circular building $100$ feet in diameter is centered midway between the paths. At the instant when the building first blocks the line of sight between Jenny and Kenny, they are $200$ feet apart. Let $t$ be the amount of time, in seconds, before Jenny and Kenny can see each other again. If $t$ is written as a fraction in lowest terms, what is the sum of the numerator and denominator?

Respuesta

Respuesta: 163

Conceptos:fórmula de la distancia velocidad relativa recta tangente

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Coloca el edificio circular en el origen y los dos senderos sobre $y=100$ y $y=-100$

Place the circular building at the origin and the two paths on $y=100$ and $y=-100$

Pista grande:

En el primer bloqueo ambos caminantes tienen $x=-50$ ; iguala a $50$ la distancia posterior de su recta de unión al origen

At the first blockage both walkers have $x=-50$ ; set the later connecting line’s distance from the origin equal to $50$

Solución:

En el primer bloqueo, los caminantes están alineados verticalmente sobre la tangente $x=-50.$ Después de $t$ segundos, sus posiciones pueden escribirse como $(-50+t,100)$ y $(-50+3t,-100).$ La distancia del origen a la recta que los une es $\frac{|10000-400t|}{\sqrt{4t^2+40000}}.$ En la segunda tangencia, esta distancia es $50.$ Al elevar al cuadrado y simplificar se obtiene $(100-4t)^2=t^2+10000,$ por lo que $t(15t-800)=0.$ El tiempo positivo es $t=\frac{160}{3},$ y la suma pedida es $160+3=163.$

At first blockage the walkers are vertically aligned on the tangent $x=-50.$ After $t$ seconds their positions may be written as $(-50+t,100)$ and $(-50+3t,-100).$ The distance from the origin to their connecting line is $\frac{|10000-400t|}{\sqrt{4t^2+40000}}.$ At the second tangency this equals $50.$ Squaring and simplifying gives $(100-4t)^2=t^2+10000,$ so $t(15t-800)=0.$ The positive time is $t=\frac{160}{3},$ and the requested sum is $160+3=163.$

1993 AIME Problema 13

Respuesta: 163

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años