Question

En una sucesión de lanzamientos de moneda, se pueden registrar los casos en que una cruz va seguida inmediatamente de una cara, una cara va seguida inmediatamente de otra cara, y así sucesivamente. Los denotamos por $\mathrm{TH},$ $\mathrm{HH},$ etcétera. Por ejemplo, en la sucesión $\mathrm{HHTTHHHHTHHTTTT}$ de $15$ lanzamientos hay dos subsecuencias $\mathrm{HH},$ tres $\mathrm{HT},$ cuatro $\mathrm{TH},$ y cinco $\mathrm{TT}.$ ¿Cuántas sucesiones distintas de $15$ lanzamientos contienen exactamente dos $\mathrm{HH},$ tres $\mathrm{HT},$ cuatro $\mathrm{TH},$ y cinco $\mathrm{TT}$ ?

In a sequence of coin tosses, one can keep a record of instances in which a tail is immediately followed by a head, a head is immediately followed by a head, and so on. We denote these by $\mathrm{TH},$ $\mathrm{HH},$ and so on. For example, in the sequence $\mathrm{HHTTHHHHTHHTTTT}$ of $15$ coin tosses, there are two $\mathrm{HH},$ three $\mathrm{HT},$ four $\mathrm{TH},$ and five $\mathrm{TT}$ subsequences. How many different sequences of $15$ coin tosses contain exactly two $\mathrm{HH},$ three $\mathrm{HT},$ four $\mathrm{TH},$ and five $\mathrm{TT}$ subsequences?

Respuesta

Respuesta: 560

Conceptos:arreglos con restricciones principio de multiplicación estrellas y barras

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Compara las cantidades de transiciones $\mathrm{HT}$ y $\mathrm{TH}$ para determinar el primer y el último lanzamiento

Compare the numbers of $\mathrm{HT}$ and $\mathrm{TH}$ transitions to determine the first and last tosses

Pista grande:

Convierte las cantidades de $\mathrm{HH}$ y $\mathrm{TT}$ en longitudes totales distribuidas entre rachas alternantes

Translate the $\mathrm{HH}$ and $\mathrm{TT}$ counts into totals distributed among alternating runs

Solución:

Como hay cuatro transiciones $\mathrm{TH}$ y tres transiciones $\mathrm{HT}$ , toda sucesión válida comienza con $\mathrm{T}$ y termina con $\mathrm{H}.$ Por tanto, tiene cuatro rachas de $\mathrm{T}$ y cuatro rachas de $\mathrm{H}$ , alternadas.

Si las rachas de $\mathrm{H}$ tienen longitud total $h,$ entonces la cantidad de transiciones $\mathrm{HH}$ es $h-4.$ Así, $h=6,$ y las longitudes positivas de las cuatro rachas de $\mathrm{H}$ se pueden elegir de $\binom{6-1}{4-1}=\binom53=10$ maneras. Análogamente, cinco transiciones $\mathrm{TT}$ significan que las cuatro rachas de $\mathrm{T}$ tienen longitud total $9,$ lo que da $\binom{9-1}{4-1}=\binom83=56$ opciones. El orden alternante está fijado, así que la cantidad de sucesiones es $10\cdot56=560.$

Since there are four $\mathrm{TH}$ transitions and three $\mathrm{HT}$ transitions, every valid sequence starts with $\mathrm{T}$ and ends with $\mathrm{H}.$ It therefore has four $\mathrm{T}$ -runs and four $\mathrm{H}$ -runs, alternating.

If the $\mathrm{H}$ -runs have total length $h,$ then the number of $\mathrm{HH}$ transitions is $h-4.$ Thus $h=6,$ and the positive lengths of the four $\mathrm{H}$ -runs can be chosen in $\binom{6-1}{4-1}=\binom53=10$ ways. Similarly, five $\mathrm{TT}$ transitions mean that the four $\mathrm{T}$ -runs have total length $9,$ giving $\binom{9-1}{4-1}=\binom83=56$ choices. The alternating order is fixed, so the number of sequences is $10\cdot56=560.$

1986 AIME Problema 13

Respuesta: 560

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años