Question

El triángulo $ABC$ satisface $AB=9$ y $BC:AC=40:41.$ ¿Cuál es el área máxima que puede tener?

Triangle $ABC$ has $AB=9$ and $BC:AC=40:41.$ What’s the largest area that this triangle can have?

Respuesta

Respuesta: 820

Conceptos:área del triángulo ley de los cosenos optimización

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Toma $BC=40t,$ $AC=41t,$ y aplica la ley de los cosenos con $AB=9$

Set $BC=40t,$ $AC=41t,$ and use the Law of Cosines with $AB=9$

Pista grande:

Expresa el área como función de $\cos C$ y maximiza su cuadrado

Express the area as a function of $\cos C$ and maximize its square

Solución:

Toma $BC=40t,$ $AC=41t,$ y $x=\cos C.$ La ley de los cosenos da $81=t^2(3281-3280x),$ mientras que el área es $820t^2\sqrt{1-x^2}.$ Por consiguiente, es igual a $820\cdot81\,\frac{\sqrt{1-x^2}}{3281-3280x}.$ Al derivar su logaritmo, se observa que el máximo ocurre cuando $x=\frac{3280}{3281}.$ Entonces $\sqrt{1-x^2}=\frac{81}{3281}$ y $3281-3280x=\frac{6561}{3281},$ de modo que el área máxima es $820.$

Set $BC=40t,$ $AC=41t,$ and $x=\cos C.$ The Law of Cosines gives $81=t^2(3281-3280x),$ while the area is $820t^2\sqrt{1-x^2}.$ Hence it equals $820\cdot81\,\frac{\sqrt{1-x^2}}{3281-3280x}.$ Differentiating its logarithm shows the maximum occurs at $x=\frac{3280}{3281}.$ Then $\sqrt{1-x^2}=\frac{81}{3281}$ and $3281-3280x=\frac{6561}{3281},$ so the maximum area is $820.$

1992 AIME Problema 13

Respuesta: 820

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años