Question

Sea $T$ el conjunto de potencias $9^k,$ donde $k$ es un entero con $0\leq k\leq4000.$ Dado que $9^{4000}$ tiene $3817$ dígitos y que su primer dígito (el de más a la izquierda) es $9,$ ¿cuántos elementos de $T$ tienen $9$ como primer dígito?

Let $T$ be the set of powers $9^k,$ where $k$ is an integer with $0\leq k\leq4000.$ Given that $9^{4000}$ has $3817$ digits and that its first (leftmost) digit is $9,$ how many elements of $T$ have $9$ as their leftmost digit?

Respuesta

Respuesta: 184

Conceptos:dígitos exponente invariante

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Compara el número de dígitos de $9^k$ con el de $9^{k-1}$

Compare the number of digits of $9^k$ with that of $9^{k-1}$

Pista grande:

Multiplicar por $9$ produce un primer dígito $9$ exactamente cuando no aumenta el número de dígitos

A multiplication by $9$ produces a leading $9$ exactly when the digit count does not increase

Solución:

Para $k\geq1,$ el número $9^k$ comienza con $9$ exactamente cuando tiene el mismo número de dígitos que $9^{k-1}.$ En efecto, si $9^{k-1}$ tiene $d$ dígitos y al multiplicarlo por $9$ no aparece un nuevo dígito, entonces $9^k\geq9\cdot10^{d-1},$ de modo que su primer dígito es $9.$ Si aparece un nuevo dígito, entonces $9^k\lt9\cdot10^d,$ por lo que su primer dígito es a lo sumo $8.$

Comenzando con el número de un dígito $9^0,$ el número de dígitos llega a $3817$ después de $4000$ multiplicaciones. Por lo tanto, aumenta en $3816$ pasos y permanece sin cambios en $4000-3816=184$ pasos. Como $9^0=1$ no comienza con $9,$ exactamente $184$ elementos de $T$ sí lo hacen.

For $k\geq1,$ the number $9^k$ begins with $9$ exactly when it has the same number of digits as $9^{k-1}.$ Indeed, if $9^{k-1}$ has $d$ digits and multiplication by $9$ creates no new digit, then $9^k\geq9\cdot10^{d-1},$ so its leading digit is $9.$ If multiplication does create a new digit, then $9^k\lt9\cdot10^d,$ so its leading digit is at most $8.$

Starting from the one-digit number $9^0,$ the digit count reaches $3817$ after $4000$ multiplications. Thus it increases on $3816$ steps and stays unchanged on $4000-3816=184$ steps. Since $9^0=1$ does not begin with $9,$ exactly $184$ elements of $T$ do.

1990 AIME Problema 13

Respuesta: 184

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años