Question

Si

\{a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\}

es un conjunto de números reales, indexado de modo que

a_1 \lt a_2 \lt a_3 \lt \cdots \lt a_n,

su suma compleja de potencias se define como

a_1 i + a_2 i^2 + a_3 i^3 + \cdots + a_n i^n,

donde

i^2 = -1.

Sea

S_n

la suma de las sumas complejas de potencias de todos los subconjuntos no vacíos de

\{1, 2, \ldots, n\}.

Dado que

S_8 = -176 - 64i

y

S_9 = p + qi,

donde

p

y

q

son enteros, halla

|p| + |q|.

If

\{a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\}

is a set of real numbers, indexed so that

a_1 \lt a_2 \lt a_3 \lt \cdots \lt a_n,

its complex power sum is defined to be

a_1 i + a_2 i^2 + a_3 i^3 + \cdots + a_n i^n,

where

i^2 = -1.

Let

S_n

be the sum of the complex power sums of all nonempty subsets of

\{1, 2, \ldots, n\}.

Given that

S_8 = -176 - 64i

and

S_9 = p + qi,

where

p

and

q

are integers, find

|p| + |q|.

Respuesta

Respuesta: 368

Conceptos:número complejo recursión teorema del binomio

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Divide los subconjuntos de

\{1, \ldots, 9\}

según contengan o no

9;

los que no tienen

9

contribuyen

S_8

Split the subsets of

\{1, \ldots, 9\}

by whether they contain

9;

those without

9

contribute

S_8

Pista grande:

En

T \cup \{9\},

el elemento

9

es siempre el mayor y añade

9i^{|T|+1};

sumando sobre todos los

T \subseteq \{1, \ldots, 8\}

se obtiene

9i(1+i)^8

In

T \cup \{9\},

the element

9

is always largest and adds

9i^{|T|+1};

summing over all

T \subseteq \{1, \ldots, 8\}

gives

9i(1+i)^8

Solución:

Divide los subconjuntos no vacíos de

\{1, \ldots, 9\}

según contengan o no

9.

Los que no tienen

9

contribuyen

S_8.

Un subconjunto que contiene

9

es

T \cup \{9\}

para algún

T \subseteq \{1, \ldots, 8\},

posiblemente vacío, y como

9

es su elemento mayor, su suma compleja de potencias es la suma compleja de potencias de

T

más

9i^{|T| + 1}.

Sumando sobre todos los

T

se obtiene otro

S_8

más

\sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k}\, 9\, i^{k+1} = 9i\,(1 + i)^8.

Como

(1 + i)^2 = 2i,

obtenemos

(1 + i)^8 = (2i)^4 = 16,

así que

\begin{aligned} S_9 &= 2S_8 + 144i \\ &= 2(-176 - 64i) + 144i \\ &= -352 + 16i. \end{aligned}

Por lo tanto

|p| + |q| = 352 + 16 = 368.

Split the nonempty subsets of

\{1, \ldots, 9\}

by whether they contain

9.

Those without

9

contribute

S_8.

A subset containing

9

is

T \cup \{9\}

for a (possibly empty)

T \subseteq \{1, \ldots, 8\},

and since

9

is its largest element, its complex power sum is the complex power sum of

T

plus

9i^{|T| + 1}.

Summing over all

T

gives another

S_8

plus

\sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k}\, 9\, i^{k+1} = 9i\,(1 + i)^8.

Since

(1 + i)^2 = 2i,

we get

(1 + i)^8 = (2i)^4 = 16,

so

\begin{aligned} S_9 &= 2S_8 + 144i \\ &= 2(-176 - 64i) + 144i \\ &= -352 + 16i. \end{aligned}

Therefore

|p| + |q| = 352 + 16 = 368.

1998 AIME Problema 13

Respuesta: 368

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años