Question

Para cada entero $n \ge 3,$ sea $f(n)$ el número de subconjuntos de $3$ elementos de los vértices de un $n$ -gono regular que son los vértices de un triángulo isósceles (incluyendo triángulos equiláteros). Halle la suma de todos los valores de $n$ tales que $f(n+1) = f(n) + 78.$

For each integer $n \ge 3,$ let $f(n)$ be the number of $3$ -element subsets of the vertices of a regular $n$ -gon that are the vertices of an isosceles triangle (including equilateral triangles). Find the sum of all values of $n$ such that $f(n+1) = f(n) + 78.$

Respuesta

Solución:

Cuente los triángulos isósceles por ápice. Para un vértice $P$ de un $n$ -gono regular, los triángulos isósceles cuyos dos lados iguales se encuentran en $P$ tienen sus otros dos vértices simétricos respecto al diámetro que pasa por $P,$ dando $\lfloor (n-1)/2 \rfloor$ tales pares. Sumando sobre los $n$ vértices se cuenta cada triángulo isósceles no equilátero una vez (tiene un ápice) y cada triángulo equilátero tres veces; los triángulos equiláteros existen exactamente cuando $3 \mid n,$ y entonces hay $n/3$ de ellos. Por lo tanto $f(n) = n \lfloor (n-1)/2 \rfloor,$ menos $2n/3$ cuando $3 \mid n.$

Escribiendo $n = 6k + j$ y calculando $f(n+1) - f(n)$ en cada clase de residuo se obtiene $13k$ para $j = 0,$ $3k$ para $j = 1,$ $5k + 1$ para $j = 2,$ $7k + 3$ para $j = 3,$ $9k + 6$ para $j = 4,$ y $-(k + 2)$ para $j = 5.$ Igualando cada uno a $78:$ $13k = 78$ da $k = 6,$ $n = 36;$ $3k = 78$ da $k = 26,$ $n = 157;$ $9k + 6 = 78$ da $k = 8,$ $n = 52;$ y los otros tres casos no tienen soluciones enteras positivas.

La suma de todos los tales $n$ es $36 + 157 + 52 = 245.$

Count isosceles triangles by apex. For a vertex $P$ of a regular $n$ -gon, the isosceles triangles whose two equal sides meet at $P$ have their other two vertices symmetric about the diameter through $P,$ giving $\lfloor (n-1)/2 \rfloor$ such pairs. Summing over all $n$ vertices counts each non-equilateral isosceles triangle once (it has one apex) and each equilateral triangle three times; equilateral triangles exist exactly when $3 \mid n,$ and then there are $n/3$ of them. Hence $f(n) = n \lfloor (n-1)/2 \rfloor,$ minus $2n/3$ when $3 \mid n.$

Writing $n = 6k + j$ and computing $f(n+1) - f(n)$ in each residue class gives $13k$ for $j = 0,$ $3k$ for $j = 1,$ $5k + 1$ for $j = 2,$ $7k + 3$ for $j = 3,$ $9k + 6$ for $j = 4,$ and $-(k + 2)$ for $j = 5.$ Setting each equal to $78:$ $13k = 78$ gives $k = 6,$ $n = 36;$ $3k = 78$ gives $k = 26,$ $n = 157;$ $9k + 6 = 78$ gives $k = 8,$ $n = 52;$ and the other three cases have no positive integer solutions.

The sum of all such $n$ is $36 + 157 + 52 = 245.$

2017 AIME II Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años