Question

Para cada entero $n \ge 3,$ sea $f(n)$ el número de subconjuntos de $3$ elementos de los vértices de un polígono regular de $n$ lados que son los vértices de un triángulo isósceles (incluyendo triángulos equiláteros). Halle la suma de todos los valores de $n$ tales que $f(n+1) = f(n) + 78.$

For each integer $n \ge 3,$ let $f(n)$ be the number of $3$ -element subsets of the vertices of a regular $n$ -gon that are the vertices of an isosceles triangle (including equilateral triangles). Find the sum of all values of $n$ such that $f(n+1) = f(n) + 78.$

Respuesta

Respuesta: 245

Conceptos:polígono regular conteo de figuras en diagramas funciones piso y techo análisis por casos

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Cuente por ápice: cada vértice es el ápice de $\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$ triángulos isósceles, pero los triángulos equiláteros se cuentan tres veces

Count by apex: each vertex is the apex of $\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$ isosceles triangles, but equilateral triangles get counted three times

Pista grande:

Escriba $f(n)$ con una función parte entera y calcule $f(n+1) - f(n)$ por separado en cada clase de residuo de $n$ módulo $6$

Write $f(n)$ with a floor function and compute $f(n+1) - f(n)$ separately in each residue class of $n$ modulo $6$

Solución:

Cuente los triángulos isósceles por ápice. Para un vértice $P$ de un polígono regular de $n$ lados, los triángulos isósceles cuyos dos lados iguales se encuentran en $P$ tienen sus otros dos vértices simétricos respecto al diámetro que pasa por $P,$ dando $\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$ tales pares. Sumando sobre los $n$ vértices se cuenta cada triángulo isósceles no equilátero una vez (tiene un ápice) y cada triángulo equilátero tres veces; los triángulos equiláteros existen exactamente cuando $n$ es múltiplo de $3,$ y entonces hay $\frac{n}{3}$ de ellos. Por lo tanto $f(n) = n \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor,$ menos $\frac{2n}{3}$ cuando $n$ es múltiplo de $3.$

Escribiendo $n = 6k + j$ y calculando $f(n+1) - f(n)$ en cada clase de residuo se obtiene $13k$ para $j = 0,$ $3k$ para $j = 1,$ $5k + 1$ para $j = 2,$ $7k + 3$ para $j = 3,$ $9k + 6$ para $j = 4,$ y $-(k + 2)$ para $j = 5.$ Igualando cada uno a $78:$ $13k = 78$ da $k = 6,$ $n = 36;$ $3k = 78$ da $k = 26,$ $n = 157;$ $9k + 6 = 78$ da $k = 8,$ $n = 52;$ y los otros tres casos no tienen soluciones enteras positivas.

La suma de todos los tales $n$ es $36 + 157 + 52 = 245.$

Count isosceles triangles by apex. For a vertex $P$ of a regular $n$ -gon, the isosceles triangles whose two equal sides meet at $P$ have their other two vertices symmetric about the diameter through $P,$ giving $\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$ such pairs. Summing over all $n$ vertices counts each non-equilateral isosceles triangle once (it has one apex) and each equilateral triangle three times; equilateral triangles exist exactly when $n$ is a multiple of $3,$ and then there are $\frac{n}{3}$ of them. Hence $f(n) = n \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor,$ minus $\frac{2n}{3}$ when $n$ is a multiple of $3.$

Writing $n = 6k + j$ and computing $f(n+1) - f(n)$ in each residue class gives $13k$ for $j = 0,$ $3k$ for $j = 1,$ $5k + 1$ for $j = 2,$ $7k + 3$ for $j = 3,$ $9k + 6$ for $j = 4,$ and $-(k + 2)$ for $j = 5.$ Setting each equal to $78:$ $13k = 78$ gives $k = 6,$ $n = 36;$ $3k = 78$ gives $k = 26,$ $n = 157;$ $9k + 6 = 78$ gives $k = 8,$ $n = 52;$ and the other three cases have no positive integer solutions.

The sum of all such $n$ is $36 + 157 + 52 = 245.$

2017 AIME II Problema 13

Respuesta: 245

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años