Question

En medio de una vasta pradera, un camión de bomberos está estacionado en la intersección de dos carreteras rectas perpendiculares. El camión viaja a $50$ millas por hora por las carreteras y a $14$ millas por hora a través de la pradera. Considera el conjunto de puntos que el camión de bomberos puede alcanzar en seis minutos. El área de esta región es $\frac{m}{n}$ millas cuadradas, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

In the middle of a vast prairie, a firetruck is stationed at the intersection of two perpendicular straight highways. The truck travels at $50$ miles per hour along the highways and at $14$ miles per hour across the prairie. Consider the set of points that can be reached by the firetruck within six minutes. The area of this region is $\frac{m}{n}$ square miles, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

En seis minutos el camión puede conducir $5$ millas por una carretera o $1.4$ millas a través de la pradera, y una ruta óptima es un tramo de carretera seguido de un segmento recto por la pradera. Trabaja en el primer cuadrante con las carreteras como ejes. Conducir hasta $(d, 0)$ toma $\frac{d}{50}$ horas, dejando un alcance por la pradera de $14\left(\frac{1}{10} - \frac{d}{50}\right) = 1.4\left(1 - \frac{d}{5}\right)$ millas. Cuando $d$ va de $0$ a $5,$ estos discos se encogen linealmente hasta un punto, así que su unión es el "cono": la envolvente convexa del disco de radio $1.4$ centrado en el origen y el punto $(5, 0),$ limitada por la recta tangente desde $(5, 0).$ La longitud de la tangente es $\sqrt{5^2 - 1.4^2} = 4.8,$ así que las razones son $7$ - $24$ - $25$ y la recta tangente es $7x + 24y = 35.$ El eje $y$ da la región especular limitada por $24x + 7y = 35.$

Las dos rectas tangentes se cruzan en $P = \left(\frac{35}{31}, \frac{35}{31}\right),$ que está a distancia $\frac{35\sqrt{2}}{31} \gt 1.4$ del origen (fuera de la circunferencia), así que en el primer cuadrante el conjunto alcanzable es exactamente el cuadrilátero (no convexo) con vértices $(0, 0),$ $(5, 0),$ $P,$ $(0, 5).$ Dividiéndolo por la diagonal desde el origen hasta $P$ se obtienen dos triángulos, cada uno con área $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{35}{31},$ para un área por cuadrante de $\frac{175}{31}.$

La región completa son cuatro copias, con área $\frac{700}{31}$ millas cuadradas. Como $\gcd(700, 31) = 1,$ la respuesta es $700 + 31 = 731.$

In six minutes the truck can drive $5$ miles on a highway or $1.4$ miles across the prairie, and an optimal route is a highway stretch followed by a straight prairie segment. Work in the first quadrant with the highways as axes. Driving to $(d, 0)$ takes $\frac{d}{50}$ hours, leaving a prairie range of $14\left(\frac{1}{10} - \frac{d}{50}\right) = 1.4\left(1 - \frac{d}{5}\right)$ miles. As $d$ runs from $0$ to $5,$ these disks shrink linearly to a point, so their union is the "cone": the convex hull of the disk of radius $1.4$ about the origin and the point $(5, 0),$ bounded by the tangent line from $(5, 0).$ The tangent length is $\sqrt{5^2 - 1.4^2} = 4.8,$ so the ratios are $7$ – $24$ – $25$ and the tangent line is $7x + 24y = 35.$ The $y$ -axis gives the mirror-image region bounded by $24x + 7y = 35.$

The two tangent lines meet at $P = \left(\frac{35}{31}, \frac{35}{31}\right),$ which lies at distance $\frac{35\sqrt{2}}{31} \gt 1.4$ from the origin — outside the circle — so in the first quadrant the reachable set is exactly the (non-convex) quadrilateral with vertices $(0, 0),$ $(5, 0),$ $P,$ $(0, 5).$ Splitting it along the diagonal from the origin to $P$ gives two triangles, each with area $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{35}{31},$ for a quadrant area of $\frac{175}{31}.$

The full region is four copies, with area $\frac{700}{31}$ square miles. Since $\gcd(700, 31) = 1,$ the answer is $700 + 31 = 731.$

2000 AIME I Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años