Question

Sea $A$ un ángulo agudo tal que $\tan A = 2 \cos A.$ Halla el número de enteros positivos $n$ menores o iguales que $1000$ tales que $\sec^n A + \tan^n A$ sea un entero positivo cuyo dígito de las unidades es $9.$

Let $A$ be an acute angle such that $\tan A = 2 \cos A.$ Find the number of positive integers $n$ less than or equal to $1000$ such that $\sec^n A + \tan^n A$ is a positive integer whose units digit is $9.$

Respuesta

Solución:

Sea $s = \sec A$ y $t = \tan A.$ La hipótesis $\tan A = 2\cos A$ dice que $\tan A \sec A = 2,$ es decir $st = 2,$ y siempre $s^2 - t^2 = 1.$ Entonces $(s^2 + t^2)^2$ $= (s^2 - t^2)^2 + 4s^2t^2$ $= 17,$ así que $u = s^2$ y $v = t^2$ satisfacen $u + v = \sqrt{17},$ $uv = 4.$ Las sumas $w_m = u^m + v^m$ cumplen $w_{m+1} = \sqrt{17}\,w_m - 4w_{m-1}$ con $w_0 = 2,$ $w_1 = \sqrt{17};$ por inducción, $w_m$ es un entero positivo para $m$ par y un entero por $\sqrt{17}$ para $m$ impar.

Para $n = 2m$ par, $s^n + t^n = w_m,$ que es entero exactamente cuando $m$ es par, es decir $4 \mid n.$ Para $n$ impar, $(s^n + t^n)^2$ $= w_n + 2 (st)^n$ $= w_n + 2^{n+1}$ es irracional, así que $s^n + t^n$ no es entero. Por tanto escribe $n = 4j$ y $x_j = w_{2j}.$ Como $u^2 + v^2 = 9$ y $u^2 v^2 = 16,$ los enteros $x_j$ satisfacen $\begin{gathered} x_{j+1} = 9x_j - 16x_{j-1}, \\ x_0 = 2, \\ x_1 = 9, \end{gathered}$ dando $9, 49, 297, 1889, \ldots$ cuyos dígitos de las unidades se repiten con periodo tres: $9, 9, 7.$ El dígito de las unidades es $7$ cuando $3 \mid j$ y $9$ en caso contrario.

Los $n \le 1000$ válidos son $n = 4j$ con $1 \le j \le 250$ y $3 \nmid j:$ hay $250 - 83 = 167$ de ellos.

Let $s = \sec A$ and $t = \tan A.$ The hypothesis $\tan A = 2\cos A$ says $\tan A \sec A = 2,$ i.e. $st = 2,$ and always $s^2 - t^2 = 1.$ Then $(s^2 + t^2)^2$ $= (s^2 - t^2)^2 + 4s^2t^2$ $= 17,$ so $u = s^2$ and $v = t^2$ satisfy $u + v = \sqrt{17},$ $uv = 4.$ The sums $w_m = u^m + v^m$ obey $w_{m+1} = \sqrt{17}\,w_m - 4w_{m-1}$ with $w_0 = 2,$ $w_1 = \sqrt{17};$ by induction $w_m$ is a positive integer for even $m$ and an integer times $\sqrt{17}$ for odd $m.$

For even $n = 2m,$ $s^n + t^n = w_m,$ an integer exactly when $m$ is even, i.e. $4 \mid n.$ For odd $n,$ $(s^n + t^n)^2$ $= w_n + 2 (st)^n$ $= w_n + 2^{n+1}$ is irrational, so $s^n + t^n$ is not an integer. Thus write $n = 4j$ and $x_j = w_{2j}.$ Since $u^2 + v^2 = 9$ and $u^2 v^2 = 16,$ the integers $x_j$ satisfy $\begin{gathered} x_{j+1} = 9x_j - 16x_{j-1}, \\ x_0 = 2, \\ x_1 = 9, \end{gathered}$ giving $9, 49, 297, 1889, \ldots$ whose units digits repeat with period three: $9, 9, 7.$ The units digit is $7$ when $3 \mid j$ and $9$ otherwise.

The valid $n \le 1000$ are $n = 4j$ with $1 \le j \le 250$ and $3 \nmid j:$ there are $250 - 83 = 167$ of them.

2023 AIME II Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años