Question

Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros que satisface $P(17) = 10$ y $P(24) = 17$ . Dado que la ecuación $P(n) = n + 3$ tiene dos soluciones enteras distintas $n_1$ y $n_2$ , halla el producto $n_1 \cdot n_2$ .

Let $P(x)$ be a polynomial with integer coefficients that satisfies $P(17) = 10$ and $P(24) = 17.$ Given that the equation $P(n) = n + 3$ has two distinct integer solutions $n_1$ and $n_2,$ find the product $n_1 \cdot n_2.$

Respuesta

Solución:

Sea $S(x) = P(x) - x - 3$ , de modo que $S(17) = S(24) = -10$ . Como $S(x) + 10$ tiene coeficientes enteros y se anula en $17$ y $24$ , $\begin{aligned} S(x) &= -10 \\ &\quad {}+ (x - 17)(x - 24)Q(x) \end{aligned}$ para algún polinomio $Q$ con coeficientes enteros.

Si $P(n) = n + 3$ para un entero $n$ , entonces $(n-17)(n-24)Q(n) = 10$ , así que $(n-17)(n-24)$ divide a $10$ . Los factores $n - 17$ y $n - 24$ son enteros que difieren en $7$ cuyo producto divide a $10$ , así que son $\{2, -5\}$ o $\{5, -2\}$ , lo que da $n = 19$ y $n = 22$ . Ambos ocurren, por ejemplo, para $P(x) = x - 7$ $- (x-17)(x-24)$ .

Por lo tanto $n_1 \cdot n_2 = 19 \cdot 22 = 418$ .

Let $S(x) = P(x) - x - 3,$ so $S(17) = S(24) = -10.$ Since $S(x) + 10$ has integer coefficients and vanishes at $17$ and $24,$ $\begin{aligned} S(x) &= -10 \\ &\quad {}+ (x - 17)(x - 24)Q(x) \end{aligned}$ for some polynomial $Q$ with integer coefficients.

If $P(n) = n + 3$ for an integer $n,$ then $(n-17)(n-24)Q(n) = 10,$ so $(n-17)(n-24)$ divides $10.$ The factors $n - 17$ and $n - 24$ are integers differing by $7$ whose product divides $10,$ so they are $\{2, -5\}$ or $\{5, -2\},$ giving $n = 19$ and $n = 22.$ Both occur, for example, for $P(x) = x - 7$ $- (x-17)(x-24).$

Hence $n_1 \cdot n_2 = 19 \cdot 22 = 418.$

2005 AIME II Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años