Question

Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros que satisface $P(17) = 10$ y $P(24) = 17.$ Dado que la ecuación $P(n) = n + 3$ tiene dos soluciones enteras distintas $n_1$ y $n_2,$ halla el producto $n_1 \cdot n_2.$

Let $P(x)$ be a polynomial with integer coefficients that satisfies $P(17) = 10$ and $P(24) = 17.$ Given that the equation $P(n) = n + 3$ has two distinct integer solutions $n_1$ and $n_2,$ find the product $n_1 \cdot n_2.$

Respuesta

Respuesta: 418

Conceptos:polinomio divisibilidad factor

Nivel de dificultad: 2760

Pista pequeña:

Considera $S(x) = P(x) - x - 3,$ que vale $-10$ tanto en $x = 17$ como en $x = 24.$

Consider $S(x) = P(x) - x - 3,$ which equals $-10$ at both $x = 17$ and $x = 24$

Pista grande:

Si $S(n) = 0,$ entonces $(n-17)(n-24)$ divide a $10;$ esos dos factores son enteros que difieren en $7.$

If $S(n) = 0,$ then $(n-17)(n-24)$ divides $10;$ those two factors are integers differing by $7$

Solución:

Sea $S(x) = P(x) - x - 3,$ de modo que $S(17) = S(24) = -10.$ Como $S(x) + 10$ tiene coeficientes enteros y se anula en $17$ y $24,$ $\begin{aligned} S(x) &= -10 \\ &\quad {}+ (x - 17)(x - 24)Q(x) \end{aligned}$ para algún polinomio $Q$ con coeficientes enteros.

Si $P(n) = n + 3$ para un entero $n,$ entonces $(n-17)(n-24)Q(n) = 10,$ así que $(n-17)(n-24)$ divide a $10.$ Los factores $n - 17$ y $n - 24$ son enteros que difieren en $7$ cuyo producto divide a $10,$ así que son $\{2, -5\}$ o $\{5, -2\},$ lo que da $n = 19$ y $n = 22.$ Ambos valores se obtienen, por ejemplo, con $P(x) = x - 7$ $- (x-17)(x-24).$

Por lo tanto $n_1 \cdot n_2 = 19 \cdot 22 = 418.$

Let $S(x) = P(x) - x - 3,$ so $S(17) = S(24) = -10.$ Since $S(x) + 10$ has integer coefficients and vanishes at $17$ and $24,$ $\begin{aligned} S(x) &= -10 \\ &\quad {}+ (x - 17)(x - 24)Q(x) \end{aligned}$ for some polynomial $Q$ with integer coefficients.

If $P(n) = n + 3$ for an integer $n,$ then $(n-17)(n-24)Q(n) = 10,$ so $(n-17)(n-24)$ divides $10.$ The factors $n - 17$ and $n - 24$ are integers differing by $7$ whose product divides $10,$ so they are $\{2, -5\}$ or $\{5, -2\},$ giving $n = 19$ and $n = 22.$ Both occur, for example, for $P(x) = x - 7$ $- (x-17)(x-24).$

Hence $n_1 \cdot n_2 = 19 \cdot 22 = 418.$

2005 AIME II Problema 13

Respuesta: 418

Nivel de dificultad: 2760

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años