Question

El triángulo equilátero $\triangle ABC$ tiene lado $\sqrt{111}.$ Hay cuatro triángulos distintos $AD_1E_1,$ $AD_1E_2,$ $AD_2E_3,$ y $AD_2E_4,$ cada uno congruente con $\triangle ABC,$ con $BD_1 = BD_2 = \sqrt{11}.$ Halle $\sum_{k=1}^{4}(CE_k)^2.$

Equilateral $\triangle ABC$ has side length $\sqrt{111}.$ There are four distinct triangles $AD_1E_1,$ $AD_1E_2,$ $AD_2E_3,$ and $AD_2E_4,$ each congruent to $\triangle ABC,$ with $BD_1 = BD_2 = \sqrt{11}.$ Find $\sum_{k=1}^{4}(CE_k)^2.$

Respuesta

Solución:

Escribimos $s = \sqrt{111}$ y $r = \sqrt{11}.$ Como cada triángulo $AD_iE_k$ es congruente con $\triangle ABC,$ tenemos $AD_i = AE_k = s,$ así que $D_1$ y $D_2$ son las dos intersecciones de la circunferencia de radio $s$ centrada en $A$ con la circunferencia de radio $r$ centrada en $B;$ son imágenes especulares respecto a la recta $AB,$ así que $\angle BAD_1 = \angle BAD_2 = \theta$ con $D_1$ y $D_2$ en lados opuestos de $AB.$ Cada $E_k$ es la imagen de su $D_i$ rotada $\pm 60^\circ$ alrededor de $A.$ Midiendo ángulos con signo desde el rayo $AB,$ con $C$ en $+60^\circ,$ los rayos $AD_i$ están en $\pm\theta$ y los rayos $AE_k$ en $\pm\theta \pm 60^\circ,$ así que los cuatro ángulos $\angle CAE_k$ son $\theta,$ $\theta,$ $120^\circ - \theta,$ y $120^\circ + \theta.$

Como $AC = AE_k = s,$ la ley de cosenos da $(CE_k)^2 = 2s^2(1 - \cos\angle CAE_k).$ Usando $\cos(120^\circ - \theta)$ $+ \cos(120^\circ + \theta)$ $= 2\cos 120^\circ \cos\theta$ $= -\cos\theta,$ los cosenos de los cuatro ángulos suman $2\cos\theta - \cos\theta = \cos\theta,$ así que $\sum_{k=1}^{4}(CE_k)^2 = 2s^2(4 - \cos\theta).$

Aplicando la ley de cosenos en el triángulo $ABD_1$ (con $AB = AD_1 = s$ ) se obtiene $r^2 = 2s^2(1 - \cos\theta),$ así que $2s^2\cos\theta = 2s^2 - r^2.$ Por lo tanto la suma es $8s^2 - (2s^2 - r^2)$ $= 6s^2 + r^2$ $= 6 \cdot 111 + 11 = 677.$

Write $s = \sqrt{111}$ and $r = \sqrt{11}.$ Since each triangle $AD_iE_k$ is congruent to $\triangle ABC,$ we have $AD_i = AE_k = s,$ so $D_1$ and $D_2$ are the two intersections of the circle of radius $s$ about $A$ with the circle of radius $r$ about $B;$ they are mirror images across line $AB,$ so $\angle BAD_1 = \angle BAD_2 = \theta$ with $D_1$ and $D_2$ on opposite sides of $AB.$ Each $E_k$ is the image of its $D_i$ rotated $\pm 60^\circ$ about $A.$ Measuring signed angles from ray $AB,$ with $C$ at $+60^\circ,$ the rays $AD_i$ sit at $\pm\theta$ and the rays $AE_k$ at $\pm\theta \pm 60^\circ,$ so the four angles $\angle CAE_k$ are $\theta,$ $\theta,$ $120^\circ - \theta,$ and $120^\circ + \theta.$

Since $AC = AE_k = s,$ the law of cosines gives $(CE_k)^2 = 2s^2(1 - \cos\angle CAE_k).$ Using $\cos(120^\circ - \theta)$ $+ \cos(120^\circ + \theta)$ $= 2\cos 120^\circ \cos\theta$ $= -\cos\theta,$ the four angles' cosines sum to $2\cos\theta - \cos\theta = \cos\theta,$ so $\sum_{k=1}^{4}(CE_k)^2 = 2s^2(4 - \cos\theta).$

Applying the law of cosines in triangle $ABD_1$ (with $AB = AD_1 = s$ ) gives $r^2 = 2s^2(1 - \cos\theta),$ so $2s^2\cos\theta = 2s^2 - r^2.$ Therefore the sum equals $8s^2 - (2s^2 - r^2)$ $= 6s^2 + r^2$ $= 6 \cdot 111 + 11 = 677.$

2012 AIME II Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años