Cada $E_k$ es $D_1$ o $D_2$ rotado $\pm 60^\circ$ alrededor de $A,$ así que siga los cuatro ángulos $\angle CAE_k$.

Con $\angle BAD_i = \theta,$ los cuatro ángulos son $\theta,$ $\theta,$ $120^\circ - \theta,$ $120^\circ + \theta,$ y los dos últimos cosenos suman $-\cos\theta$.

Escribimos $s = \sqrt{111}$ y $r = \sqrt{11}.$ Como cada triángulo $AD_iE_k$ es congruente con $\triangle ABC,$ tenemos $AD_i = AE_k = s,$ así que $D_1$ y $D_2$ son las dos intersecciones de la circunferencia de radio $s$ centrada en $A$ con la circunferencia de radio $r$ centrada en $B;$ son imágenes especulares respecto a la recta $AB,$ así que $\angle BAD_1 = \angle BAD_2 = \theta$ con $D_1$ y $D_2$ en lados opuestos de $AB.$ Cada $E_k$ es la imagen de su $D_i$ rotada $\pm 60^\circ$ alrededor de $A.$ Midiendo ángulos con signo desde el rayo $AB,$ con $C$ en $+60^\circ,$ los rayos $AD_i$ están en $\pm\theta$ y los rayos $AE_k$ en $\pm\theta \pm 60^\circ,$ así que los cuatro ángulos $\angle CAE_k$ son $\theta,$ $\theta,$ $120^\circ - \theta,$ y $120^\circ + \theta.$

Como $AC = AE_k = s,$ la ley de cosenos da $(CE_k)^2 = 2s^2(1 - \cos\angle CAE_k).$ Usando $\cos(120^\circ - \theta)$ $+ \cos(120^\circ + \theta)$ $= 2\cos 120^\circ \cos\theta$ $= -\cos\theta,$ los cosenos de los cuatro ángulos suman $2\cos\theta - \cos\theta = \cos\theta,$ así que $$\sum_{k=1}^{4}(CE_k)^2 = 2s^2(4 - \cos\theta).$$

Aplicando la ley de cosenos en el triángulo $ABD_1$ (con $AB = AD_1 = s$) se obtiene $r^2 = 2s^2(1 - \cos\theta),$ así que $2s^2\cos\theta = 2s^2 - r^2.$ Por lo tanto la suma es $8s^2 - (2s^2 - r^2)$ $= 6s^2 + r^2$ $= 6 \cdot 111 + 11 = 677.$