Solución:

Sea $P = \sin 1^\circ \sin 3^\circ \cdots \sin 89^\circ$ y $Q = \sin 2^\circ \sin 4^\circ \cdots \sin 88^\circ,$ de modo que el producto buscado es $\frac{1}{P^2}.$ Entonces $PQ = \prod_{k=1}^{89} \sin k^\circ,$ y multiplicando esto por sí mismo en orden inverso, usando $\sin(90 - k)^\circ = \cos k^\circ,$ da $$P^2Q^2 = \prod_{k=1}^{89} \sin k^\circ \cos k^\circ.$$

Multiplica por $2^{89}$ y usa $2\sin k^\circ \cos k^\circ = \sin 2k^\circ:$ $$\begin{aligned} 2^{89} P^2 Q^2 &= \prod_{k=1}^{89} \sin 2k^\circ \\ &= \left(\prod_{k=1}^{44} \sin 2k^\circ\right) \\ &\quad {}\cdot \left(\prod_{k=46}^{89} \sin 2k^\circ\right) \\ &= Q \cdot Q, \end{aligned}$$ ya que $\sin 90^\circ = 1$ y $\sin(180 - x)^\circ = \sin x^\circ$ convierte la segunda mitad también en $Q.$

Como $Q \ne 0,$ se sigue que $P^2 = 2^{-89},$ así que $\prod_{k=1}^{45} \csc^2(2k-1)^\circ = 2^{89}.$ Como $89$ es primo, la única representación $m^n$ con $m, n \gt 1$ es $m = 2,$ $n = 89,$ y $m + n = 91.$