Question

Con todos los ángulos medidos en grados, el producto

\prod_{k=1}^{45} \csc^2(2k-1)^\circ = m^n,

donde

m

y

n

son enteros mayores que

1.

Halla

m + n.

With all angles measured in degrees, the product

\prod_{k=1}^{45} \csc^2(2k-1)^\circ = m^n,

where

m

and

n

are integers greater than

1.

Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 91

Conceptos:identidad trigonométrica emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 3370

Pista pequeña:

Sean

P

y

Q

los productos de los senos de los ángulos impares y pares, respectivamente, hasta

89^\circ;

empareja

\sin k^\circ

con

\sin(90-k)^\circ = \cos k^\circ

Let

P

and

Q

be the products of the sines of the odd and even degree angles up to

89^\circ;

pair

\sin k^\circ

with

\sin(90-k)^\circ = \cos k^\circ

Pista grande:

Entonces

P^2Q^2 = \prod \sin k^\circ \cos k^\circ;

duplicar cada factor convierte el producto de nuevo en

Q^2,

dejando solo una potencia de

2

Then

P^2Q^2 = \prod \sin k^\circ \cos k^\circ;

doubling every factor turns the product into

Q^2

again, leaving only a power of

2

Solución:

Sea

P = \sin 1^\circ \sin 3^\circ \cdots \sin 89^\circ

y

Q = \sin 2^\circ \sin 4^\circ \cdots \sin 88^\circ,

de modo que el producto buscado es

\frac{1}{P^2}.

Entonces

PQ = \prod_{k=1}^{89} \sin k^\circ,

y multiplicando esto por sí mismo en orden inverso, usando

\sin(90 - k)^\circ = \cos k^\circ,

da

P^2Q^2 = \prod_{k=1}^{89} \sin k^\circ \cos k^\circ.

Multiplica por

2^{89}

y usa

2\sin k^\circ \cos k^\circ = \sin 2k^\circ:

\begin{aligned} 2^{89} P^2 Q^2 &= \prod_{k=1}^{89} \sin 2k^\circ \\ &= \left(\prod_{k=1}^{44} \sin 2k^\circ\right) \\ &\quad {}\cdot \left(\prod_{k=46}^{89} \sin 2k^\circ\right) \\ &= Q \cdot Q, \end{aligned}

ya que

\sin 90^\circ = 1

y

\sin(180 - x)^\circ = \sin x^\circ

convierte la segunda mitad también en

Q.

Como

Q \ne 0,

se sigue que

P^2 = 2^{-89},

así que

\prod_{k=1}^{45} \csc^2(2k-1)^\circ = 2^{89}.

Como

89

es primo, la única representación

m^n

con

m, n \gt 1

es

m = 2,

n = 89,

y

m + n = 91.

Let

P = \sin 1^\circ \sin 3^\circ \cdots \sin 89^\circ

and

Q = \sin 2^\circ \sin 4^\circ \cdots \sin 88^\circ,

so the desired product is

\frac{1}{P^2}.

Then

PQ = \prod_{k=1}^{89} \sin k^\circ,

and multiplying this by itself in reverse order, using

\sin(90 - k)^\circ = \cos k^\circ,

gives

P^2Q^2 = \prod_{k=1}^{89} \sin k^\circ \cos k^\circ.

Multiply by

2^{89}

and use

2\sin k^\circ \cos k^\circ = \sin 2k^\circ:

\begin{aligned} 2^{89} P^2 Q^2 &= \prod_{k=1}^{89} \sin 2k^\circ \\ &= \left(\prod_{k=1}^{44} \sin 2k^\circ\right) \\ &\quad {}\cdot \left(\prod_{k=46}^{89} \sin 2k^\circ\right) \\ &= Q \cdot Q, \end{aligned}

since

\sin 90^\circ = 1

and

\sin(180 - x)^\circ = \sin x^\circ

turns the second half into

Q

as well.

Because

Q \ne 0,

it follows that

P^2 = 2^{-89},

so

\prod_{k=1}^{45} \csc^2(2k-1)^\circ = 2^{89}.

Since

89

is prime, the only representation

m^n