Solución:

En la franja $m \le x \lt m + 1$ tenemos $\lfloor\sqrt{x}\rfloor = k = \lfloor\sqrt{m}\rfloor,$ así que la región por encima de ella es un trapecio bajo $y = kx$ con área $A(m+1) - A(m) = \frac{(2m+1)k}{2}:$ un entero cuando $k$ es par, un semientero cuando $k$ es impar. Por lo tanto a medida que $n$ crece en $1,$ la integralidad de $A(n)$ no cambia mientras $k$ es par y se invierte en cada paso mientras $k$ es impar.

Considera el bloque de $2k + 1$ valores $k^2 \lt n \le (k+1)^2.$ Partiendo de $A(1) = 0,$ los estados de $A(k^2)$ se repiten con periodo $4:$ entero para $k \equiv 0, 1$ y no entero para $k \equiv 2, 3 \pmod 4$ (un bloque impar invierte el estado un número impar de veces, un bloque par lo conserva). Contando los valores enteros de $A(n)$ dentro de cada bloque: para $k = 4j - 3$ el bloque alterna, empezando y terminando con no enteros, dando $4j - 3;$ para $k = 4j - 2$ cada valor es no entero, dando $0;$ para $k = 4j - 1$ alterna, empezando y terminando con enteros, dando $4j;$ para $k = 4j$ los $8j + 1$ valores son todos enteros.

Para $j = 1, \ldots, 7,$ cubriendo $2 \le n \le 29^2,$ los cuatro bloques aportan $(4j - 3) + 0 + 4j$ $+ (8j + 1) = 16j - 2$ enteros, sumando en total $\sum_{j=1}^{7}(16j - 2) = 434.$ Luego el bloque $k = 29$ aporta $29$ enteros para $841 \lt n \le 900,$ el bloque $k = 30$ no aporta ninguno, y para $k = 31$ la alternancia sobre $961 \lt n \le 1000$ empieza con un entero en $n = 962$ y da $20$ más. El total es $434 + 29 + 20 = 483.$