Question

En el triángulo rectángulo $ABC$ con el ángulo recto en $C,$ $\angle BAC \lt 45^\circ$ y $AB = 4.$ El punto $P$ en $\overline{AB}$ tiene las propiedades de que $\angle APC = 2\angle ACP$ y $CP = 1.$ La razón $\frac{AP}{BP}$ se puede representar en la forma $p + q\sqrt{r},$ donde $p,$ $q,$ y $r$ son enteros positivos y $r$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $p + q + r.$

In right triangle $ABC$ with the right angle at $C,$ $\angle BAC \lt 45^\circ$ and $AB = 4.$ Point $P$ on $\overline{AB}$ has the properties that $\angle APC = 2\angle ACP$ and $CP = 1.$ The ratio $\frac{AP}{BP}$ can be represented in the form $p + q\sqrt{r},$ where $p,$ $q,$ and $r$ are positive integers and $r$ is not divisible by the square of any prime. Find $p + q + r.$

Respuesta

Solución:

Como el ángulo recto está en $C,$ el segmento $AB$ es un diámetro de la circunferencia circunscrita; sea $O$ su centro, así que el radio es $2.$ Sea $\alpha = \angle ACP$ y prolonga $\overline{CP}$ hasta cortar de nuevo la circunferencia en $D.$ El ángulo central sobre el arco $AD$ es $\angle AOD = 2\angle ACD = 2\alpha,$ mientras que los ángulos opuestos por el vértice dan $\angle DPB = \angle APC = 2\alpha.$ Así, $\overline{OD}$ y $\overline{PD}$ forman ángulos iguales con la recta $AB,$ y el triángulo $ODP$ es isósceles con $DP = DO = 2.$

Por la potencia del punto $P,$ $\begin{aligned} AP \cdot PB = CP \cdot PD = 1 \cdot 2 &= 2, \\ AP + PB &= 4, \end{aligned}$ así que $AP$ y $PB$ son las raíces de $t^2 - 4t + 2,$ a saber $2 \pm \sqrt{2}.$ Como $\angle BAC \lt 45^\circ,$ tenemos $BC \lt AC$ con $AC^2 + BC^2 = 16,$ así que $AC \gt 2\sqrt{2},$ y la desigualdad triangular da $AP \ge AC - CP$ $\gt 2\sqrt{2} - 1$ $\gt 2 - \sqrt{2}.$ Por tanto $AP = 2 + \sqrt{2}.$

Por tanto $\begin{aligned} \frac{AP}{BP} &= \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} \\ &= \frac{(2 + \sqrt{2})^2}{2} = 3 + 2\sqrt{2}, \end{aligned}$ así que $p + q + r = 3 + 2 + 2 = 7.$

Because the right angle is at $C,$ segment $AB$ is a diameter of the circumcircle; let $O$ be its center, so the radius is $2.$ Let $\alpha = \angle ACP$ and extend $\overline{CP}$ to meet the circle again at $D.$ The central angle over arc $AD$ is $\angle AOD = 2\angle ACD = 2\alpha,$ while vertical angles give $\angle DPB = \angle APC = 2\alpha.$ So $\overline{OD}$ and $\overline{PD}$ make equal angles with line $AB,$ and triangle $ODP$ is isosceles with $DP = DO = 2.$

By the power of the point $P,$ $\begin{aligned} AP \cdot PB = CP \cdot PD = 1 \cdot 2 &= 2, \\ AP + PB &= 4, \end{aligned}$ so $AP$ and $PB$ are the roots of $t^2 - 4t + 2,$ namely $2 \pm \sqrt{2}.$ Since $\angle BAC \lt 45^\circ,$ we have $BC \lt AC$ with $AC^2 + BC^2 = 16,$ so $AC \gt 2\sqrt{2},$ and the triangle inequality gives $AP \ge AC - CP$ $\gt 2\sqrt{2} - 1$ $\gt 2 - \sqrt{2}.$ Hence $AP = 2 + \sqrt{2}.$

Therefore $\begin{aligned} \frac{AP}{BP} &= \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} \\ &= \frac{(2 + \sqrt{2})^2}{2} = 3 + 2\sqrt{2}, \end{aligned}$ and $p + q + r = 3 + 2 + 2 = 7.$

2010 AIME II Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años