Question

Un contenedor con forma de cubo tiene vértices $A,$ $B,$ $C,$ y $D,$ donde $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ son aristas paralelas del cubo, y $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ son diagonales de caras del cubo, como se muestra. El vértice $A$ del cubo se apoya sobre un plano horizontal $\mathcal{P}$ de modo que el plano del rectángulo $ABDC$ es perpendicular a $\mathcal{P},$ el vértice $B$ está $2$ metros por encima de $\mathcal{P},$ el vértice $C$ está $8$ metros por encima de $\mathcal{P},$ y el vértice $D$ está $10$ metros por encima de $\mathcal{P}.$ El cubo contiene agua cuya superficie es paralela a $\mathcal{P}$ a una altura de $7$ metros por encima de $\mathcal{P}.$ El volumen de agua es $\frac{m}{n}$ metros cúbicos, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

A cube-shaped container has vertices $A,$ $B,$ $C,$ and $D,$ where $\overline{AB}$ and $\overline{CD}$ are parallel edges of the cube, and $\overline{AC}$ and $\overline{BD}$ are diagonals of faces of the cube, as shown. Vertex $A$ of the cube is set on a horizontal plane $\mathcal{P}$ so that the plane of the rectangle $ABDC$ is perpendicular to $\mathcal{P},$ vertex $B$ is $2$ meters above $\mathcal{P},$ vertex $C$ is $8$ meters above $\mathcal{P},$ and vertex $D$ is $10$ meters above $\mathcal{P}.$ The cube contains water whose surface is parallel to $\mathcal{P}$ at a height of $7$ meters above $\mathcal{P}.$ The volume of water is $\frac{m}{n}$ cubic meters, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Da al cubo coordenadas de modo que $A$ sea el origen, las aristas vayan a lo largo de los ejes, y la longitud de la arista sea $s:$ entonces $B = (s, 0, 0),$ $C = (0, s, s),$ $D = (s, s, s)$ cumplen la descripción ( $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ son aristas y $\overline{AC},$ $\overline{BD}$ son diagonales de caras). La altura por encima de $\mathcal{P}$ es una función lineal $h(x, y, z) = u_1 x + u_2 y + u_3 z$ para algún vector unitario $u.$ El plano del rectángulo $ABDC$ tiene dirección normal $(0, 1, -1),$ y la perpendicularidad a $\mathcal{P}$ significa que la dirección vertical $u$ está en ese plano, así que $u_2 = u_3.$ Las alturas de $B$ y $C$ dan $s u_1 = 2$ y $s(u_2 + u_3) = 8,$ así que $su_2 = su_3 = 4,$ y $|u| = 1$ obliga a $s^2 = 2^2 + 4^2 + 4^2 = 36.$ Por tanto $s = 6$ y $u = \frac{1}{3}(1, 2, 2)$ (y en efecto $h(D) = 10$ ).

El agua es la región de $[0, 6]^3$ donde $h \le 7,$ es decir $x + 2y + 2z \le 21.$ Para $x = a$ fijo, la sección es $\{(y, z) \in [0,6]^2 : y + z \le \tfrac{21 - a}{2}\},$ y como $\frac{21 - a}{2}$ está entre $6$ y $12,$ su área es $36 - \frac{1}{2}\left(12 - \frac{21 - a}{2}\right)^2$ $= 36 - \frac{(3 + a)^2}{8}.$

Integrando, $\begin{gathered} V = \int_0^6 \left(36 - \frac{(3 + a)^2}{8}\right) da \\ = 216 - \frac{9^3 - 3^3}{24} \\ = 216 - \frac{702}{24} \\ = \frac{747}{4}, \end{gathered}$ así que $m + n = 747 + 4 = 751.$

Give the cube coordinates so that $A$ is the origin, the edges lie along the axes, and the edge length is $s:$ then $B = (s, 0, 0),$ $C = (0, s, s),$ $D = (s, s, s)$ satisfy the description ( $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ are edges and $\overline{AC},$ $\overline{BD}$ are face diagonals). Height above $\mathcal{P}$ is a linear function $h(x, y, z) = u_1 x + u_2 y + u_3 z$ for some unit vector $u.$ The plane of rectangle $ABDC$ has normal direction $(0, 1, -1),$ and perpendicularity to $\mathcal{P}$ means the vertical direction $u$ lies in that plane, so $u_2 = u_3.$ The heights of $B$ and $C$ give $s u_1 = 2$ and $s(u_2 + u_3) = 8,$ so $su_2 = su_3 = 4,$ and $|u| = 1$ forces $s^2 = 2^2 + 4^2 + 4^2 = 36.$ Thus $s = 6$ and $u = \frac{1}{3}(1, 2, 2)$ (and indeed $h(D) = 10$ ).

The water is the region of $[0, 6]^3$ where $h \le 7,$ i.e. $x + 2y + 2z \le 21.$ For fixed $x = a,$ the slice is $\{(y, z) \in [0,6]^2 : y + z \le \tfrac{21 - a}{2}\},$ and since $\frac{21 - a}{2}$ lies between $6$ and $12,$ its area is $36 - \frac{1}{2}\left(12 - \frac{21 - a}{2}\right)^2$ $= 36 - \frac{(3 + a)^2}{8}.$

Integrating, $\begin{gathered} V = \int_0^6 \left(36 - \frac{(3 + a)^2}{8}\right) da \\ = 216 - \frac{9^3 - 3^3}{24} \\ = 216 - \frac{702}{24} \\ = \frac{747}{4}, \end{gathered}$ so $m + n = 747 + 4 = 751.$

2023 AIME II Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años